高2015级一诊考试试卷

数 学（理工农医类）

本试卷分第一部分试题卷和第二部分答题卷两部分，共150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号。

3．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 选出正确的答案，并将其字母代号填在答题卡规定的位置上.

1．设集合
则
（ 　 ）

A．{5} B．{3}

C．{2，3，5} D．{1，3，4，5}

2．已知等差数列
中，
，记
，则
(?? )

A．52　　　 B．56　　　 ??

C．68　　 D．78

3．抛物线
的焦点到直线
的距离是 (　　)

A.
B.2 C.
D.1

4．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的(　　 )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）

A．－3 B．－

C. 2 D．

6. 8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有（ ）

　　A．C
C．C
A
B．C
A
D．3C

7．
满足约束条件
,若
取得最大值的最优解不唯一，则实数
的值为 ( )

A.
或
B.
或
C.
或
D.
或

8．已知函数
的值为（ 　 ）

A．－4 B．2

C．0 D．－2

9．
（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（ ）

A．
一定是奇函数 B．
一定是偶函数

C．
一定是奇函数 D．
一定是偶函数

10.已知O是△ABC的外心，AB = 6，AC = 10，若
，且
，则△ABC的面积为（ ）

A． 24 B．

C．18或
D． 24或

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）把答案填写在答题卷相应的位置上，其中11～13是必做题，14～16是选做题.

（一）必做题（11～13题）

11．若复数
是纯虚数，则实数a＝ ．

12. 设双曲线的两个焦点分别为
，若双曲线上存在点
满足
，则双曲线的离心率等于 ．

13．已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是 ． 　

（二）选做题（14～16题，考生只能从中选做两题，三题全答的，只计算前两题的得分）

14.(选修4-1：平面几何选讲)

如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝________．

15.(选修4-4：极坐标与参数方程)

在极坐标系中，点到直线ρsin＝1的距离是________．

16.(选修4-5：不等式选讲)

已知关于x的不等式|x＋1|＋|x－2|≤对任意正实数a、b恒成立，则实数x的取值范围是 .

三．解答题 (本大题共6小题，共75分) 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

解答写在答题卷的指定区域内.

17．(本题满分13分)

首届重庆三峡银行
长江杯乒乓球比赛于2014年11月14-16日在万州三峡之星举行，决赛中国家乒乓队队员张超和国家青年队队员夏易正进行一场比赛．根据以往经验，单局比赛张超获胜的概率为
，夏易正获胜的概率为
，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的人获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．试求：

（1）比赛以张超3胜1败而宣告结束的概率；

（2）令
为本场比赛的局数．求
的概率分布和数学期望．

18．(本题满分13分)

等差数列
的前
项和为
，已知
为整数，且在前
项和中
最大.

（1）求
的通项公式；

（2）设
.

① 求证：
； ② 求数列
的前
项和
.

19．(本题满分13分)

函数
，当
时，
.

(1)求
的值；

(2)解不等式
．

20．(本题满分12分)

已知函数
.

(1)若函数
的图像关于直线
对称，求
的最小值；

(2)若函数
在
上有零点，求实数
的取值范围.

21．(本题满分12分)

如图，椭圆长轴端点为
,
为椭圆中心，
为椭圆的右焦点,
，且斜率为
的直线
与椭圆交于不同的两点, 这两点在
轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)记椭圆的上顶点为
，直线
交椭圆于
两点，问：

是否存在直线
，使点
恰为
的垂心？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由.

22．(本题满分12分)

设函数
有两个极值点
,且
.

(1) 求实数
的取值范围，并讨论函数
的单调性；

(2) 若对任意的
,都有
成立,求实数
的取值范围．

高2015级一诊理科数学试题参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1～5 BADAC 6～10 BBCDD

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

（一）必做题（11～13题）

11．
； 12．
； 13．(－∞，)；

（二）选做题（14～16题，考生只能从中选做两题，三题全答的，只计算前两题的得分）14． 4　； 15．1； 16． .

三．解答题：(本大题共6小题，共75分)

17. (本题满分13分)

解：(1)以张超3胜1负而结束比赛,则张超第4局必胜而前3局必有1局败.

∴所求概率为
…………………5分

(2) ξ的所有取值为3,4,5 …………………6分

P(ξ=3)=

P(ξ=4)=

P(ξ=5)=

∴ξ的分布列为：

3

4

5



P









…………………11分

∴Eξ=3×
+4×
+5×
=

…………………13分

18. (本题满分13分)

解：（1）由
为整数知，等差数列
的公差
为整数 ………1分

又
，故
，即
…………………3分

解得
…………………4分

因此
…………………5分

数列
的通项公式为
…………………………6分

（2）①由题意知
，
………………………8分

数列
是单调递减数列，
的最大项为
，所以
…………9分

②
①

②

①-②得

…………………11分

…………………13分

19. (本题满分13分)

解：(1)由
得

∴

∵

∴
…………………4分

∴
或

∵
而
时

∴
∴
…………………7分

(2)由(1)知
在
上为减函数 …………………8分

由
得

∴
…………………11分

∴不等式的解集为
…………………13分

20. (本题满分12分)

解：(1)

……… 3分

，

又

的最小值为
…………………6分

(2)∵函数
在
上有零点

∴方程
在
上有解，

∵
， ∴
…………………8分

∴
…………………10分

则
………………… 12分

21. (本题满分12分)

解：（1）设椭圆方程为

∵
即

∴
(1) ……………2分

由题意知,直线
的方程为
，对于
当
时

由已知得,点
在椭圆上 ∴
(2) ……………4分

由(1)(2)得
∴

故椭圆方程为
……………………6分

（2）假设存在直线
交椭圆于
两点，且
恰为
的垂心，则

设
，∵
，故
………………………7分

于是设直线
为
，由
得

(
)……………………8分

∴

∵
又

得
即

∴

化简得
解得