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2015年重庆一中高2015级高三上期一诊模拟考试

数 学 试 题 卷 （文科） 2015.1

一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）

1．设集合
，
，则
（ ）

A．
　　B．
　　C．
　　D．

2、对于非零向量a，b，“a∥b”是“a＋b＝0”的（ ）

A、充分不必要条件　　B、必要不充分条件

C、充要条件　　　　　D、既不充分又不必要条件

3．设
是定义在R上的周期为
的函数，当x∈[－2，1)时，
，则
＝（ ）

A．
　　 B．　
　 C．
　 　D．

4.下列结论正确的是（ ）

A．
B.
C.
D.

5.若
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

6.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的正视图，左视图，俯视图依次是（用①②③④⑤⑥代表图形）（ ）

A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤

7. 已知
是坐标原点，点
，若点
为平面区域
上的一个动点，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）

A．
B．
C．1 D．2

9. 抛物线
的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为
的值为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

10. 已知函数



则函数
的所有零点之和是（ ）

A.
B.
C.
D.

二．填空题（本大题共5个小题，每题5分，共25分）

11. 设数列{
}的前n项和为
,中
= .

12. 已知
是虚数单位，
和
都是实数，且
，则

13.已知
，则
=

14.已知
，且
，则
= .

15. 设等比数列
满足公比
，且
中的任意两项之积也是该数列中的一项，若
，则
的所有可能取值的集合为

三．解答题（本大题共6个小题，共75分）

16.（13分）已知等差数列
的前n项和为
，
.

(1)求数列
的通项公式；

(2)求数列
的前n项和.

17.（13分）随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．

（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；

（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率．

18.（13分） 已知
的三边分别是
，且满足

（1）求角A；

（2）若
，求
的面积的最大值.

19.（12分）（原创）已知

（1）求函数
在
处的切线方程（用一般式作答）；

（2）令
，若关于
的不等式
有实数解.求实数
的取值范围.

20.（12分）如图，几何体
中，
为边长为
的正方形，
为直角梯形，
，
，
，
，
．

（1）求证:

（2）求几何体
的体积．

21.（12分）（原创）已知椭圆C的中心为原点，焦点
在坐标轴上，其离心率为
，且与
轴的一个交点为
.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知椭圆C过点
，P是椭圆C上任意一点，在点P处作椭圆C的切线
，
到
的距离分别为
.探究：
是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由(提示：椭圆
在其上一点
处的切线方程是
)；

（3）求（2）中
的取值范围.

命题人：周波涛

审题人：张志华

2015年重庆一中高2015级高三上期一诊模拟考试

数 学 答 案 解 析 （文科）2015.1

1．设集合
，
，则

A．
　　B．
　　C．
　　D．

答案：A

2、对于非零向量a，b，“a∥b”是“a＋b＝0”的

A、充分不必要条件　　B、必要不充分条件

C、充要条件　　　　　D、既不充分又不必要条件

答案：B

3．设
是定义在R上的周期为
的函数，当x∈[－2，1)时，
，则
＝

A．
　　 B．　
　 C．
　 　D．

答案：D

4.下列结论正确的是（ ）

A．
B.
C.
D.

答案：A

5.若
，则
（ ）

A.
B.
C
.D.

答案：C

6.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的正视图，左视图，俯视图依次是（用①②③④⑤⑥代表图形）（ ）

A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤

答案：B

7. 已知
是坐标原点，点
，若点
为平面区域
上的一个动点，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

答案：C

8. 执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）

A．
B．
C．1 D．2

答案：C

9. 抛物线
的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为
的值为

A．2 B．4 C．6 D．8

答案：D

10. 已知函数



则函数
的所有零点之和是（ ）

A.
B.
C.
D.

答案：B

11. 设数列{
}的前n项和为
,中
= .

答案：9

12. 已知
是虚数单位，
和
都是实数，且
，则

答案：

13.已知
，则
=

答案：

14.已知
，且
，则
= .

答案：

15. 设等比数列
满足公比
，且
中的任意两项之积也是该数列中的一项，若
，则
的所有可能取值的集合为

【答案】

解析：根据题意得对任意
有
,使

，即
，因为
，所以

是正整数1、3、9、27、81，
的所有可能取值的集合为
.

16.已知等差数列
的前n项和为
，
.

(1)求数列
的通项公式；

(2)求数列
的前n项和.

解答：

设
的公差为
，则由题得

则

（2）由（1）得

则所求和为

17.随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．

（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；

（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率．

解答：

(1)

解得
=179 所以污损处是9

(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，

从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，

而事件A含有4个基本事件，∴P(A)＝＝

18. 已知
的三边分别是
，且满足

（1）求角A；

（2）若
，求
的面积的最大值.

解答：

（1）由余弦定理得
，则
；

（2）由题得
，则
时取等号）

故
的面积的最大值为
.

19.（原创）已知

（1）求函数
在
处的切线方程（用一般式作答）；

（2）令
，若关于
的不等式
有实数解.求实数
的取值范围.

解答：

（1）由题
，则
，

则所求切线为

即

（2）
，显然
时不是不等式的解，故
，

故

由（1）可知
，则
.

20. 如图，几何体
中，
为边长为
的正方形，
为直角梯形，
，
，
，
，
．

（1）求证:

（2）求几何体
的体积．

解答：

（1）证明：由题意得，
，
，且
，

∴
平面
， ∴
， ………………2分

∵四边形
为正方形. ∴

由
∴
∴
………………4分

又∵四边形
为直角梯形，
，
，
，

∴
，