衡阳县四中2015届高三12月月考试题(理科数学)

时量：120分钟 满分：150分

选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合
则
（ ）

A． [0,1] B．(1,2) C． [1,2) D． (1,3)

2. “
”是“
”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要

3. 已知为虚数单位,则复数z=
的共轭复数在复平面上所对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4. 执行程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是(　)

A．120 B．720 C．1440 D．5040

5. 函数
的零点一定位于区间（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 由曲线y =
，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( 　)

A.
B．4 C.
D．6

7．若二项式
的展开式中的常数项为70，则实数可以为（ ）

8. 函数
（其中A＞0，
）的图象如图所示，为了得到g(x)=sin2x的图象，则只需将
的图象（ ）

A．向右平移
个长度单位 B．向右平移
个长度单位

C．向左平移
个长度单位 D．向左平移
个长度单位

9．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个

几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是

A．
B．4

C．
D． 3

10. 设实数x，y满足条件
,若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为(　 )

A．4 B． C． D．

二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分

11 . 函数
的极值点为______

12. 向量
，
，且
∥
，则
______

13、某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为

14、从个正整数
中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于的概率为
,则
________.

15. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时f(x)＝
，则

①：2是函数f(x)的周期； ②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；

③函数f(x)的最大值是1，最小值是0； ④当x∈(3,4)时，f(x)＝

其中所有正确命题的序号是________

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16、（本小题满分12分） 已知函数
为常数），且方程
有两实根3和4

求函数
的解析式

设
，解关于的不等式：

17.（本小题满分12分）设函数
直线
与函数
图像相邻两交点的距离为.

（Ⅰ）求的值

（II）在
中，角、、
所对的边分别是、
、，若点
是函数
图像的一个对称中心，且
,求
面积的最大值.

18、（本小题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为
,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为
,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.

(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为
,求
的概率;

(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?

19．（本小题满分13分）如图，四棱锥
的底面
是正方形，侧棱
⊥底面
，
，是
的中点．

（I）证明：
//平面
；

（II）求二面角
的平面角的余弦值；

20．（本小题满分13分）如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿
匀速步行,速度为
.在甲出发
后,乙从乘缆车到,在处停留
后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为
,山路
长为
,经测量,
,
.

(1)求索道
的长;

(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?



21. （本小题满分13分）已知函数
。

（1）若
，求函数
的极值，并指出是极大值还是极小值；

（2）若
，求证：在区间
上，函数
的图像在函数

的图像的下方

参考答案

一、

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项

C

A

A

B

A

C

B

A

B

D



二、

11：
. 12:
. 13: 12. 14: 8. 15: ①②④

16、解：（1）因为方程
有两根3和4，所以
2分

得

所以
4分

（2）即
整理得：
6分

①、
时，不等式的解集
8分

②、
时，不等式的解集
10分

③、
时，不等式的解集
12分

17、

18、【答案】解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为
,小红中奖的概率为
,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分
”的事件为A,则A事件的对立事件为“
”,

,

这两人的累计得分
的概率为
.

(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为
,都选择方案乙抽奖中奖的次数为
,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为
,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为

由已知:
,

,

,

他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.

19.解：法一：（I）以为坐标原点，分别以
、
、
所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

设
，则
，
，
，

设
是平面BDE的一个法向量，

则由
，得

取
，得
．

∵
，

（II）由（Ⅰ）知
是平面BDE的一个法向量，又
是平面
的一个法向量．

设二面角
的平面角为
，由图可知

∴
．

故二面角
的余弦值为
．

法二：（I）连接
，
交
于
，连接
．在
中，
为中位线，

,
//平面
．………………4分

（II）
⊥底面
, 平面
⊥底面
，
为交线,
⊥

平面
⊥平面
，
为交线,
=
，是
的中点
⊥

⊥平面
，
⊥

即为二面角
的平面角．

设
，在
中,

故二面角
的余弦值为
．

20、 【答案】解:(1)∵
,
∴
∴
,
∴
根据
得
(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则
∴
∵
即
∴
时,即乙出发
分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理
得
(m) 乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V
,则
∴
∴
∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在
范围内

法二:解:(1)如图作BD⊥CA于点D, 设BD=20k,则DC=25k,AD=48k, AB=52k,由AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m. (2)设乙出发x分钟后到达点M, 此时甲到达N点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2), 由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000, 其中0≤x≤8,当x=(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时:=(min). 若甲等乙3分钟,则乙到C用时:+3= (min),在BC上用时: (min) . 此时乙的速度最小,且为:500÷=m/min. 若乙等甲3分钟,则乙到C用时:-3= (min),在BC上用时: (min) . 此时乙的速度最大,且为:500÷=m/min. 故乙步行的速度应控制在[,]范围内.


21.解：由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，……………… 1分

当a＝－1时，f′(x)＝x－
………… 2分

令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)， …………3分

当x∈(0,1)时，f′(x)<0， 因此函数f(x)在(0,1)上是单调递减的，………… 4分

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上是单调递增的，…… 5分

则x＝1是f(x)极小值点，

所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)=
…………6 分