2014—2015学年度湖北省部分高中12月调考

高三数学（理科）参考答案

一、选择题（共50分）

1—5　CBBCA 6—10　CBABD

二、填空题（25分）

11、
12、10 13、5

14、
15、
16、

三、解答题（共75分）

（Ⅱ）
…………………8分

故当
时，
取最小值…………………………………9分

又
…………………………………………………………10分

故
………………………………………………………………11分

，
为等边三角形………………………………12分

18、解：（Ⅰ）

　　　　　
……………………………1分

相减，得

…………………………………………………2分

又
………………………………………3分

又
，即
，解得
……………4分

又
，故
……………………………………5分

，故数列
为首项，2为公差的等差数列，

故
………………………………………………………………6分

易知
，
……………………………………7分

（Ⅱ）
…………………………………………8分

恒成立，

即
对
恒成立……………………………………………9分

令
，则

故
时，
，
时，
，

最大…………………………………………………………11分

…………………………………………………………………12分

19、解：（Ⅰ）根据茎叶图知，甲部门人选有10人，乙部分人选也有10人，

故从20人中选8人，用分层抽样，知选中的甲部门人选4人，

选中的乙部门人选也是4人。……………………………………………3分

用A表示“至少有一名甲部门人选被选中”，则
表示没有一名甲部门人选被选中，则：

，故至少有一人是“甲部门”的概率是
…………5分

（Ⅱ）据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3……………………………………………………………………………………………6分

，
，

，
………………………………10分

X的分布列为：

……………………………………12分

20、解：（Ⅰ）
中，
，故
…………1分

取
………………2分

为二面角
的平面角，即
……3分

由
，故面
，交线为GD。

故A到平面BCD距离即为点A到直线DG的距离。…………………4分

在
中，
…………5分

的距离为
，即A到平面BCD的距离为
…………6分

（Ⅱ）取
中点T，AC中点M，则平面
…………7分

　　
上运动……………………………………………8分

　　于是AH在面BCD上的斜足轨迹为线段TC

　　由（Ⅰ）知

　　故
………………………………………………………9分

　　故
，

设AH与平面BCD成角为
，由于点A到面BCD距离为
，

故
………………………………………………11分

即取值范围是
……………………………………………12分

（说明：用向量法可同样给分）

21. 解：（Ⅰ）由题知：

化简得：
………………………………………2分

当
时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去
两点；

当
时 轨迹表示以
为圆心半径是１的圆，且除去
两点；

当
时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去
两点；

当
时 轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去
两点；

……………………………………………………6分

的方程为
令
，

得

直线
过定点
……………………………13分

22、解：（Ⅰ）
，由
经检验符合题意…………3分

（Ⅱ）依题意知，不等式
恒成立。

令
，当
，有
，

故
不合。…………………………………………………………………………4分

当
时，

令
…………………………………………5分

①当
时，
，
上恒成立，因此
上单调递减，

从而对任意的
，总有
，故
符合题意。………6分

②当
时，
，对于
，

故
内单调递增，因此当取
时，
，不合。

综上，
…………………………………………………………………………8分

（Ⅲ）证明：当
时，不等式左边
右边，所以不等式成立。…………9分

当
时，在（Ⅱ）中取
，得
…………………………10分

取
代入上式得
………………12分

综上，
……………………………………………………14分