浙江省2015届高三第一次五校联考理科数学试题

命题学校：宁波效实中学

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

柱体的体积公式V=Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

锥体的体积公式 V=
Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

台体的体积公式
其中S1,S2分别表示台体的上,下底面积

球的表面积公式S=4πR2 其中R表示球的半径，h表示台体的高

球的体积公式V=
πR3 其中R表示球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集为
，集合
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2．在等差数列
中，
，则此数列
的前6项和为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3．已知函数
是偶函数，且
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4．已知直线
，平面
满足
，则“
”是“
”的（ ）

（A）充要条件 （B）充分不必要条件

（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

5．函数


的最小正周期为
，为了得到
的图象，只需将函数
的图象（ ）

（A）向左平移
个单位长度 （B）向右平移
个单位长度

（C）向左平移
个单位长度 （D）向右平移
个单位长度

6．右图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为
，

则它的正视图为（ ）



7．如图，在正四棱锥
中，
分别是
的中点，动点
在线段
上运动时，下列四个结论：①
；②
；③
；④
．中恒成立的为（ ）

（A）①③ （B）③④ （C）①② （D）②③④

8．已知数列
满足：
，

．若

，
，且数列
是单调递增数列，则实数
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9．定义
，设实数
满足约束条件
，则

的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10．已知函数
，则关于
的方程
的实根个数不可能为（ ）

（A）
个 （B）
个 （C）
个 （D）
个

非选择题部分（共100分）

二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．

11．函数
的定义域为_____▲____．

12．已知三棱锥
中，
，
，则直线
与底面
所成角为_____▲____．

13．已知
，
，则
_____▲____．

14．定义在
上的奇函数
满足
，且
，则

_____▲____．

15．设
是按先后顺序排列的一列向量，若
，

且
，则其中模最小的一个向量的序号
___▲____．

16．设向量
，
，其中
为实数．

若
，则
的取值范围为_____▲____．

17．若实数
满足
，则
的最大值为____▲_
___．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）在
中，角
的对边分别为
，已知
,

的面积为
．

（Ⅰ）当
成等差数列时，求
；

（Ⅱ）求
边上的中线
的最小值．

19．（本题满分14分）四棱锥
如图放置，
,
，

，
为等边三角形．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值．

20．本题满分15分）已知函数
，其中
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若不等式
在
上恒成立，求
的取值范围．

21．（本题满分15分）已知数列
的前
项和
满足
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，记数列
的前
和为
，证明：
．

22．（本题满分14分）给定函数
和常数
，若

恒成立，则称
为函数
的一个“好数对”；若
恒成立，则称
为函数
的一个“类好数对”．已知函数
的定义域为
．

（Ⅰ）若
是函数
的一个“好数对”，且
，求
；

（Ⅱ）若
是函数
的一个“好数对”，且当
时，
，求证：

函数
在区间
上无零点；

（Ⅲ）若
是函数
的一个“类好数对”，
，且函数
单调递增，比较

与
的大小，并说明理由．

2014学年浙江省第一次五校联考

数学（理科）答案

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内
容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．选择题
和填空题不给中间分．

而
．

即
，解得
…………7分

（Ⅱ）∵
，∴

当
时取等号…………14分

(19)解法1：（Ⅰ）易知在梯形
中，
，而
，则

同理
，故
；…………6分

（Ⅱ）取
中点
,连
，

作

,垂足为
,再作

,连
。

易得
，则

于是
，

即
二面角
的平面角。

在
中，
∴
，

故二面角
的平面角的余弦值为
…………14分

解法2：（Ⅰ）易知在梯形
中，
，

而
，则

同
理
，故
；…………6分

（Ⅱ）如图建系，则

,

设平面
的法向量为
，则

即
，取
，

首先，由（Ⅰ）可知，
在
上恒递增

则
，解得
或

其次，当
时，
在
上递增，故
，解得

当
时，
在
上递增，故
，解得

综上：
或
…………15分

(21)解：（Ⅰ）由
，及
，作差得
，

即数列
成等比，
，故
…………7分

（Ⅱ）∵

∴
………9分

则

即
………12分

∴

故
…………15分

(22)解：（Ⅰ）由题意，
，且
，则

则数列
成等差数列，公差为
，首项
，于是
…………4分

（Ⅱ）当
时，
，则由题意得

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