考试时间：120分钟；满分150分

第I卷（选择题）

一、选择题：共12题 每题5分 共60分

1．若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A∪B=

A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{1,2} D.{0}

2．函数y＝sin(x＋θ)·cos(x＋θ)在x＝2时取最大值，则θ的一个值是(　　)

A． B．

C． D．

3．设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝(　　)

A．2＋3i B．2－3i

C．3＋2i D．3－2i

4．k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面个数f(k＋1)为(　　)

A．f(k)＋k－1　 B．f(k)＋k＋1

C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2

5．已知a>0，b>0，a、b的等差中项为，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为(　　)

A．3 B．4

C．5 D．6

6．若m，n是正整数，则m＋n>mn成立的充要条件是(　　)

A．m，n都等于1 B．m，n都不等于2

C．m，n都大于1 D．m，n至少有一个等于1

7.函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是(　　)

A. B．－1

C．0 D．1

8．某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为

A.π B.π C.4π D.16π

9．阅读下面的程序框图,输出的结果是

A.9 B.10 C.11 D.12

10．已知双曲线
的渐近线方程为
，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于

A.1 B.
C.
D.

11．如果实数x,y满足不等式组目标函数z=kx+y的最大值为12,最小值为3,那么实数k的值为

A.2 B.-2 C.1 D.-1

12．已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是

A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) D.(-∞,0)

第II卷（非选择题）

二、填空题：共4题 每题5分 共20分

13.随机变量ξ的取值为0,1,2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.

14．

观察下列等式

(1+1)=2×1

(2+1)(2+2)=22×1×3

(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5

……

照此规律,第n个等式可为 .

15.下图展示了一个由区间
到实数集的映射过程：区间
中的实数对应数上的点，如图1；将线段
围成一个圆，使两端点
恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为
，如图3.图3中直线
与轴交于点
，则的象就是，记作
.

下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)

①方程
的解是

； ②
；

③
是奇函数； ④
在定义域上单调递增；

⑤
的图象关于点
对称．

16．对于定义域在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．若函数f(x)＝x2＋ax＋1没有不动点，则实数a的取值范围是__________．

三、解答题：(共6题，共72分)

17．(本题10分)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ )(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x＝处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求函数g(x)＝的值域．

18．(本题12分) 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．

(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；

(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．

19.（本题12分）

在四棱锥
中，
，
，点
是线段
上的一点，且
，
．

（1）证明：面
面
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

已知等差数列
的公差为，前项和为
，且
，
，
成等比数列。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
=
求数列
的前项和
。

21．（本题13分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，g(x)＝(6＋a)·2x－1.

(1)若f(1)＝f(3)，求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，判断函数F(x)＝的单调性，并给出证明；

(3)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a(a?(－4,4))恒成立，求实数a的最小值．

22．（本题13分）

椭圆C
=1（>>0）的离心率
， +=3．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值．

参考答案

∴α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5.故选C.

6.答案　D

【解析】　∵m＋n>mn，∴(m－1)(n－1)<1.

∵m，n∈N*，∴(m－1)(n－1)∈Z，

∴(m－1)(n－1)＝0.

∴m＝1或n＝1，故选D.

7.答案　D

【解析】　由f ′(x)＝3－12x2＝0得，x＝±，∵x∈[0,1]，∴x＝，∵当x∈[0，]，f ′(x)>0，当x∈[，1]时，f ′(x)<0，∴f(x)在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，故x＝时，f(x)取到极大值也是最大值，f()＝3×－4×()3＝1，故选D.

8.D

【解析】本题主要考查三视图、空间几何体的结构和球的表面积公式,意在考查考生的空间想象能力.如图所示,由三视图可知该几何体为圆锥AO,AD为该圆锥外接球的直径,则AO=1,CO=,由射影定理可知CO2=AO·OD,得OD=3,所以外接球的半径为(AO+OD)=2,表面积为4π×22=16π.

9.B

【解析】本题主要考查算法与程序框图的相关知识,考查运算求解能力.a=95→y=ax是减函数,否→a=×(95-1)=47→y=ax是减函数,否→a=×(47-1)=23→y=ax是减函数,否→a=×(23-1)=11→y=ax是减函数,否→a=×(11-1)=5→y=ax是减函数,否→a=×(5-1)=2→y=ax是减函数,否→a=×(2-1)=→y=ax是减函数,是→x=1→ax=()1>10-3,是→x=1+1=2→ax=()2>10-3,是→x=2+1=3→ax=()3>10-3,是→…→x=8+1=9→ax=()9>10-3,是→x=9+1=10→ax=()10>10-3,否→输出x为10.

10.D

11.A

12.B

13. 　

【解析】　本题考查期望，方差的求法．

设ξ＝1概率为P.

则E(ξ)＝0×＋1×P＋2(1－P－)＝1，

∴P＝.

故D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)×＋(2－1)2×＝.

14.(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)

【解析】本题主要考查归纳推理,考查考生的观察、归纳、猜测能力. 观察规律可知,左边为n项的积,最小项和最大项依次为(n+1),(n+n),右边为连续奇数之积乘以2n,则第n个等式为:(n+1)(n+2)·(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1).

15. ①④

16.　(－1,3)

【解析】　由题意，得方程x2＋ax＋1＝x，即

x2＋(a－1)x＋1＝0无实根，

∴Δ＝(a－1)2－4＝a2－2a－3＜0，

∴－1＜a＜3.

17. 解：(1)由题设条件知f(x)的周期T＝π，即＝π，

解得ω＝2.

因为f(x)在x＝处取得最大值2，所以A＝2，

从而sin(2×＋φ)＝1，

所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，

又由－π<φ≤π，得φ＝.

故f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．

(2)g(x)＝

＝

＝

＝cos2x＋1(cos2x≠)．

因cos2x∈[0,1]，且cos2≠.

故g(x)的值域为[1，)∪(，]．

18. 解：(1)设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲，乙成功的概率分别为，.

则P(B)＝(1－)×(1－)＝×＝，

再根据对立事件概率之间的公式可得

P(A)＝1－P(B)＝，

所以至少一种产品研发成功的概率为.

(2)由题可设该企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有0,120＋0,100＋0,120＋100，即ξ＝0,120,100,220，由独立试验的概率计算公式可得：

P(ξ＝0)＝(1－)×(1－)＝；

P(ξ＝120)＝×(1－)＝；

P(ξ＝100)＝(1－)×＝；

P(ξ＝220)＝×＝；

所以ξ的分布列如下：

ξ

0

120

100

220



P(ξ)











则数学期望E(ξ)＝0×＋120×＋100×＋220×＝32＋20＋88＝140.

19.解:（1）由
，得
，

又因为
，且
，所以
面
，

且
面
．所以，面
面
。

（2）过点
作
，连结
，

因为
，且
，

所以
平面
，又由
平面
，

所以平面
平面
，平面
平面
，过点
作
，

即有
平面
，所以
为直线
与平面
所成角．

在四棱锥
中，设
，则
，
，
，∴
，
，从而
，即直线
与平面
所成角的正弦值为
．

20.解：（Ⅰ）

解得

（Ⅱ）

21．解：　(1)∵f(1)＝f(3)，

∴函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝2，

即－＝2，故a＝－4.

(2)由(1)知，g(x)＝(6－4)·2x－1＝2x，

F(x)＝(x∈R)

函数F(x)在R上是减函数

设x1，x2∈R，且x1

∴Δx＝x2－x1>0，

Δy＝F(x2)－F(x1)＝－

＝＝.

根据指数函数性质及x1

由上式得Δy<0，

所以F(x)在R上是减函数．

(3)f(x)＝x2＋ax＋3＝(x＋)2＋3－，x∈[－2,2]，

又a?(－4,4)，故－?(－2,2)．

①当－≥2，即a≤－4时，

f(x)在[－2,2]上单调递减，

f(x)min＝f(2)＝7＋2a，故7＋2a≥a，即a≥－7.

所以－7≤a≤－4.

②当－≤－2，即a≥4时，

f(x)在[－2,2]上单调递增，

f(x)min＝f(－2)＝7－2a，故7－2a≥a，即a≤，

这与a≥4矛盾，故此情形不存在．

因此，实数a的最小值为－7.

22. 解：

所以
再由a+b=3得a=2,b=1,

①

将①代入
,解得

又直线AD的方程为
②

①与②联立解得

由
三点共线可角得

所以MN的分斜率为m=
,则
(定值)

时取“=”）或
≤－
时取“=”）

或
综合以上得直线KP斜率的取值范围是
。