莆田二十四中高三理科数学第二次月考试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合
，
，则
为（ ）

A.
　　 B.
　 C.
　　 D.

2. 若
,则下列不等式成立的是( )

A.
B.
C.
D.

3. 在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（ ）

A.58 B.88 C.143 D.176

4. 若
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 已知
为等比数列，
，
，则
（ ）

A.7 B.5 C.-5 D.-7

6. 函数
的最大值与最小值之和为（ ）

A.
　　　B.0　　　C.－1　　　D.

7. 下列判断错误的是（ ）

A. “
”是”
”的充分不必要条件

B.命题“
”的否定是“
”

C.若
均为假命题，则
为假命题

D.若
，则

8. 函数
的零点个数为（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

9. 函数
（其中
）的图象如图1所示，为了得到
的图象，则只需将
的图象( )

A.向右平移
个长度单位

B.向右平移
个长度单位

C.向左平移
个长度单位

D.向左平移
个长度单位

10. 在△
中，若
，则△
是( )

A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形

11. 已知函数
则满足不等式
的的取值范围为( )

A.
B. (-3,1) C. [-3,0) D. (-3,0)

12. 设不等式组
表示的平面区域为
表示区域Dn中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则
=( )

A. 1012 B. 2012 C. 3021 D. 4001

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）

13. 已知向量a,b夹角为
，且|a|=1，|2a－b|=
，则|b|=________.

14. 在△
中，
,

,则
的长度为________.

15. 设
满足约束条件：
则
的取值范围为 .

16. 已知
，若
恒成立，则实数的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知函数
。

（1）求
的定义域及最小正周期；

（2）求
的单调递减区间.

18.（本小题满分12分）

已知公差不为零的等差数列
满足
，且
成等比数列。

（1）求数列
的通项公式
；

（2）设
为数列
的前n项和，求数列
的前n项和

19.（本小题满分12分）

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c = asinC－ccosA.

（1）求A；

（2）若a=2，△ABC.的面积为，求b,c.

20.（本小题满分12分）

已知等差数列
满足：
.

（1）求
的通项公式；

（2）若
(
)，求数列
的前n项和
.

21. 如图2，建立平面直角坐标系
，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程
表示的曲线上，其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，

炮弹可以击中它？请说明理由.

图2

22. 设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线
与直线
在(0，0)点相切。

（1）求
的值;

（2）证明：当
时，
.

莆田二十四中高三理科数学第二次月考试卷答案

1. A【解析】集合M={y|y>1}，集合N=
，所以
.

2. D 【解析】因为指数函数
在定义域内单调递减，又
，所以
.故D

3.（理）B【解析】由等差数列性质可知，a4＋a8＝a1＋a11＝16，S11＝＝88.

4. D【解析】因为
，所以
，所以
，所以
.又
，所以
.又由
，得
，所以
.选D.

5. D【解析】因为
为等比数列，所以
.又
，所以
或
.若
，解得
，此时
；若
，解得
，仍有
.综上,
.选D.

6. A 【解析】因为
，所以
，则
，所以当
时，函数
的最小值为
；当
时，函数
的最大值为
，所以最大值与最小值之和为
.选A.

7.（理）D 【解析】A项中，
；但
不能推出
,例如：当
时，
，故A正确；B项显然正确；C项中,
均为假可以推出
为假，正确；D项中，
，故错误.

8. B。在同一坐标系内画出函数
和
的图象可得交点个数为3. 故选B.

9. A 【解析】由图象易得
,且函数
的最小正周期为
,所以
.又由图象过点
，得
，则
,得
，又
，所以
.所以
.将其向右平移
个长度单位，即可得到函数
的图象.

10.D【解析】由
，得
，得

，得
，得
,故
.故△
是直角三角形.

11. D【解析】当
时，满足
,无解；当
时，满足
，解得
；当
时，满足
，解得
.综上可知，的范围为
.

12. C【解析】因为
，所以令
,又为整数，所以
.当x=1时，
，有3n个整数点；当x=2时，
，有2n个整数点；当x=3时，
，有n个整数点.综上，共有6n个整数点，所以
.则数列
是以
为首项，公差为12的等差数列.故

.

13.
【解析】因为|2a－b|=
，所以（2a－b）2=10，即4|a|2－4|a||b|＋4|b|2=10，所以4＋|b|2－4|b|cos45°=10，整理得|b|2－
|b|－6=0，解得|b|=
或|b|=
（舍去）.

14. 1或2【解析】由余弦定理得
,即

,解得BC=1或BC=2.

15.
【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图，由
，得
.平移直线
，由图象可知当直线经过点
时，直线
的截距最小，此时
取得最大值3；当直线经过点
时，直线
的截距最大，
取得最小值-3；所以
，即的取值范围是
.

16.
【解析】因为
，所以
.若
恒成立，则
,解得
.

17.解：（1）由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，

故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}． …………………2分

因为f(x)＝

＝2cosx(sinx－cosx)

＝sin2x－cos2x－1

＝sin－1， …………………………4分

所以f(x)的最小正周期T＝＝π. …………………………5分

（2）函数y＝sinx的单调递减区间为(k∈Z)． …………………………6分

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)． …………………………10分

18. 解：（1）依题意得

因为
，解得
…………………………4分

所以
. …………………………6分

（2）由（1）得
，

所以
. …………………………10分

所以
. …………………

19.解：（1）由c＝asinC－ccosA及正弦定理得

sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0. …………………………3分

由于sinC≠0，所以sin＝.

又0

(2)△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝4.

而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8. …………………………10分

解得b＝c＝2. …………………………12分

20. （理）解：（1）设
的首项为
，公差为
，则

由
得
…………2分

解得

所以
的通项公式
…………5分

（2）由
得
. …………7分

①当
时，

；…………10分

② 当
时，
，得

；

所以数列
的前n项和
…………12分

21.解：（1）令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，…………………………2分

由实际意义和题设条件知x>0，k>0，

故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号. …………………………4分

所以炮的最大射程为10 km. …………………………5分

（2）因为a>0，所以炮弹可击中目标?存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立

?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 …………………………7分

?判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0

?a≤6. …………………………11分

所以当a不超过6 km时，可击中目标. …………………………12分

22. （理）解：（1）由y＝f(x)过(0,0)点，得b＝－1. …………………………2分

由y＝f(x)在(0,0)点的切线斜率为，

又
，得a＝0. …………………………5分

（2）(证法一)由均值不等式，当x＞0时，2＜x＋1＋1＝x＋2，故＜＋1.……7分

记h(x)＝f(x)－，则h′(x)＝＋－＝－

＜－＝. …………………………9分

令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当0＜x＜2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216＜0.

因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)＜0，所以h′(x)＜0.

因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)＜0.

于是当0＜x＜2时，f(x)<. …………………………12分

(证法二)

由（1）知f(x)＝ln(x＋1)＋－1.

由均值不等式，当x＞0时，2＜x＋1＋1＝x＋2，故＜＋1.①

令k(x)＝ln(x＋1)－x，则k(0)＝0，k′(x)＝－1＝＜0，

故k(x)＜0，即ln(x＋1)＜x.②

由①②得，当x＞0时，f(x)＜x.

记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x，则当0＜x＜2时，h′(x)＝f(x)＋(x＋6)f′(x)－9

＜x＋(x＋6)－9

＝[3x(x＋1)＋(x＋6)(2＋)－18(x＋1)]

<[3x(x＋1)＋(x＋6)－18(x＋1)]

＝(7x－18)＜0.

因此h(x)在(0,2)内单调递减，又h(0)＝0，

所以h(x)＜0，即f(x)＜.