2015年丹东市高三总复习质量测试（一）

数学（理科）

命题：宋润生 周宝喜 齐丹 审核：宋润生

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷1至3页，第II卷4至6页．其中第II卷第(22)题～第(24)题为选考题，其它题为必考题．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）在复平面内，复数
所对应的点在

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

（2）已知集合
，
，且
，那么
的值可以是

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）已知向量
,

,

,若
，则实数

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）下列结论中正确的是

（A）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于

（B）在某项测量中，测量结果
服从正态分布

，若
位于区

域
的概率为
，则
位于区域
内的概率为

（C）从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每
分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样

（D）利用随机变量
来判断“两个独立事件X，Y的关系”时，算出的
值越大，判断“X与Y有关”的把握就越大

（5）给出右面的程序框图 ，若输入的
值为
，

则输出的
值是

（A）

（B）

（C）

（D）

（6）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为
的扇形，

则该几何体的侧面积为

（A）

（B）

（C）

（D）

（7）如图，从气球
上测得正前方的河流的两岸
，
的俯角分别为
，
，此时气球的高是
m，则河流的宽度
等于

（A）
m

（B）
m

（C）
m

（D）
m

（8）设
满足约束条件
，则
的最小值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）在平面直角坐标系中，点
在角
的终边上，点
在角
的

终边上，则

（A）
或
（B）
或
（C）
（D）

（10）如图所示，函数
的部分图象，已知

，且
，则

（A）

（B）

（C）

（D）

（11）经过双曲线
的右焦点为
作该双曲线一条渐近线的垂

线与两条渐近线相交于
两点，若
是坐标原点，△
的面积是
，

则该双曲线的离心率是

（A）
（B）
（C）
（D）

（12）关于函数
，给出以下4个结论：

①
； ②
；

③
； ④
．

其中正确结论的个数是

（A）
（B）
（C）
（D）

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）
的展开式中
的系数是 ．

（14）已知
，
分别是
上的奇函数和偶函数，若
，

则
．

（15）已知抛物线
：
的焦点是
，点
，线段
与
的交点是
，过
作
准线的垂线，垂足是
，若
，则
．

（16）四面体
的体积是
，△
是斜边
的等腰直角三角形，若点
，

，
，
都在半径为
的同一球面上，则
与
中点的距离是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

数列
满足
，
，
．

（I）设
，证明
是等差数列；

（II）求
的通项公式．

（18）（本小题满分12分）

如图，正三棱柱
中，底面边长为
，

侧棱长为
，
为
中点．

（I）求证：
∥平面
；

（II）求二面角
的余弦值．

（19）（本小题满分12分）

某校理科实验班的100名学生期中考试的语文数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．



这100名学生语文成绩某些分数段的人数
与数学成绩相应分数段的人数
之比如下表所示：

分组区间

[100,110）

[110,120）

[120,130）

[130,140）





1:2

2:1

3:4

1:1



（I）估计这100名学生数学成绩的中位数；

（II）从数学成绩在[130，150] 的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为
，求
的数学期望
．

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆
的右焦点为
，点
在椭圆上．

（I）求椭圆的方程；

（II）点
在圆
上，且
在第一象限，过
作圆
的切线交椭圆于
,
两点，求证：△
的周长是定值．

（21）（本小题满分12分）

已知
是函数
的极值点，
自然对数底数．

（I）求
值，并讨论
的单调性；

（II）是否存在
，使得当
时，不等式
对任意正实数
都成立？请说明理由．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知A，B，C，D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，D为切点，AC∥DE，AC与BD相交于H点．

（I）求证：BD平分∠ABC；

（II）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的长．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

（I）求
的参数方程；

（II）若点
在曲线
上，求
的最大值和最小值．

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知关于
的不等式
．

（I）当
时，求此不等式的解集；

（II）若此不等式的解集为
，求实数
的取值范围．

2015年丹东市高三总复习质量测试（一）

数学（理科）试题参考答案与评分参考

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

（1）A （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C

（7）B （8）C （9）D （10）D （11）C （12）D

（11）题引申：如果把题中的“
”改成“
”，答案是
或
．

（12）题①②④是正确的．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）
（14）
（15）
（16）

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

（17）（本小题满分12分）

解：（I）由
得

，

∴
是首项为1，公差为2的等差数列； …………（6分）

（II）由（I）得
，于是
，

当
时，

而
，∴
的通项公式
． …………（12分）

【注意】“累加”法，不要忘记验证
情形．

（18）（本小题满分12分）

（I）证明：如图，连结A1B与AB1交于E，连结DE，则E为A1B的中点，

∴BC1∥DE，
平面
，
平面
，

∴
∥平面
； …………（6分）

（II）方法1：

过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质，AA1⊥DF，

∴DF⊥平面ABB1A1，连结EF，DE，

∴DE⊥AB1，∴可得EF⊥AB1，

则∠DEF为二面角A1－AB1－D的平面角， …………（8分）

在正三角形A1B1C1中，∵D是A1C1的中点，

∴
＝
，

又在直角三角形AA1D中，∵AD＝＝
，

∴AD＝B1D，可求得
，

∵△B1FE∽△B1AA1，得
，

∴cos∠DEF＝，即二面角A1－AB1－D的余弦值为． …………（12分）

方法2：

建立如图所示空间直角坐标系，

则
，
，

，
，

，

∴
＝（0，1，
），
＝（－
a，－
,0），

设n1＝（x，y，z）是平面AB1D的一个法向量，

则可得 ，即
．

∴n1＝（－，1，－）．
，

又平面ABB1A1的一个法向量n2＝＝（－
,0,0），

设n1与n2的夹角是θ，则 cosθ＝＝，

又可知二面角A1－AB1－D是锐角，

∴二面角A1－AB1－D的余弦值为． …………（12分）

（19）（本小题满分12分）

解：（I）∵
，
，

∴这100名学生数学成绩的中位数是
； …………（6分）

（II）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为

∴数学成绩在[140，150]的人数为