2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）

数 学(理)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷 选择题 (共40分)

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

参考公式：

·如果事件
、
互斥，那么

柱体的体积公式
. 其中
表示柱体的底面积,
表示柱体的高.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设复数
满足
,则
=

2.已知实数
满足约束条件
,则
的最大值为

A．
B．
C．
D．

3.若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是
, 则输入的
的值

可以等于 A.
　B.
　 　C.?
　　 D.

4.一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．

则该四棱锥的体积等于

A.
B．
C．
D．

5.已知双曲线
的左顶点与抛物线
的焦点的距离

为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为
，则双曲线的焦距为

A．
B．
C．
D．

6.数列
满足
，且对于任意的

都有
则
等于 A．
B．
C．
D．

7.已知以下4个命题:

①若
为真命题，则
为真命题

②若
则

③设
，则
是
成立的充分不必要条件

④若关于实数
的不等式
无解，则实数
的取值范围是
.

其中,正确命题的个数是

A.
　 　B.
　 　C.?
　　 D.

8．定义域为
的函数
满足

，当
时，

，若
时，
恒成立，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）

数 学(理)

第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.

9.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为
的样本，若从初中生中抽取了30人，则
的值等于 ? ? ?.

10. 已知
，在二项式
的展开式中，含
的项的系数为 ??　.

11. 已知
中,
，
，

，则
.

12. 如图,
是圆
的内接三角形，
是圆
的切线，
为切点，

交
于点
，交圆
于点
，若
，
，

且
，
，则
＝______.

13．在直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲

线
的极坐标方程为
, 曲线
的参数方程为

（
为参数）. 若曲线
与
相交于
两点，则线段
的长等于　　.

14. 已知
为
的外心，
若
，

则
的最小值为　　　 ．

三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数

(Ⅰ)求函数
的最小正周期与单调递减区间；

(Ⅱ)求函数
在区间
上的最大值和最小值．

16．（本小题满分13分）

某银行招聘，设置了
、
、
三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加
组测试，丙独自参加
组测试，丁、戊两人各自独立参加
组测试．若甲、乙两人各自通过
组测试的概率均为
；丙通过
组测试的概率为
；而
组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.

（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.

（Ⅱ）记
、
两组通过测试的总人数为
，求
的分布列和期望.

17．（本小题满分13分）

如图，三棱柱
中，
⊥面
，

，
，
为
的中点.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）在侧棱
上是否存在点
，使得

？请证明你的结论.

18．（本小题满分13分）

已知椭圆
的左、右顶点分别为
,
，右焦点为
，直线
是椭圆
在点
处的切线. 设点
是椭圆
上异于
，
的动点，直线
与直线
的交点为
，且当
时，
是等腰三角形.

（Ⅰ）求椭圆
的离心率；

（Ⅱ）设椭圆
的长轴长等于
，当点
运动时，试判

断以
为直径的圆与直线
的位置关系，并加以证明．

19．（本小题满分14分）

设数列
，
，已知
，
，
，
（
）．

（Ⅰ）设
,求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求证：对任意
，
为定值；

（Ⅲ）设
为数列
的前
项和，若对任意
，都有
，求实数
的取值范围．

20．（本小题满分14分）

已知函数
，
，
图象与
轴异于原点的交点为
，
在
处的切线与直线
平行.

(Ⅰ)求函数
的单调区间；

(Ⅱ)已知实数t∈R，求函数
的最小值；

(Ⅲ）令
，给定
，对于两个大于1的正数
，

存在实数
满足：
，
，并且使得不等式

恒成立，求实数
的取值范围.

2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）

数学理科参考答案

一、选择题:每小题5分，满分40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

D

B

A

A

C

B

A



二、填空题: 每小题5分，共30分.

9．100 ； 10．
； 11．
； 12．
； 13．8； 14．

三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）已知函数

(Ⅰ)求函数
的最小正周期与单调递减区间；

(Ⅱ) 求函数
在区间
上的最大值和最小值．

15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）
……1分

…………2分

…………4分

∴
的最小正周期
……………5分

由
得

∴
的单调递减区间为
……………7分

（Ⅱ）由
得
………9分

故
………11分

所以
………12分

因此,
的最大为
, 最小值是2 ……13分

解法二:
在区间
上单调递增; 在区间
上单调递减………11分

又

所以
的最大为
, 最小值是2 ………13分

16．（本小题满分13分）

某银行招聘，设置了
、
、
三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加
组测试，丙独自参加
组测试，丁、戊两人各自独立参加
组测试．若甲、乙两人各自通过
组测试的概率均为
；丙通过
组测试的概率为
；而
组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少 答对3题者就竞聘成功. 但丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.

（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.

（Ⅱ）记
、