房山区2015年高三第一次模拟试题

高三数学(文科)

考

生

须知

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟 。

第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。



第I卷 选择题（共40分）

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,直接涂在答题卡上.

1．已知全集
，集合
，则


=（ ）

A．

B．

C．

D．



2．双曲线
的渐近线方程是( )

A．

B．

C．

D．





3．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

A．

B．






















C．

D．





4．设
,则 “
”是“直线
与直线
平行”的（ ）

A．充分不必要条件

B． 必要不充分条件



C. 充要条件

D． 既不充分也不必要条件





5．在△
中，角


所对的边分别为


且

，
，则
等于 (　　)

A．

B．

C．

D．



6．在同一个坐标系中画出函数
的部分图象，其中
，则下列所给图象中可能正确的是（ ）

7．已知数列
的前
项和为
，
，
，则
（ ）

A．

B．

C．

D．



8．一个人骑车以
米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车
米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻
的速度
米/秒，那么此人（ ）

A．可在
秒内追上汽车

B．不能追上汽车,但其间最近距离为16米



C．不能追上汽车,但其间最近距离为
米

D．不能追上汽车,但其间最近距离为
米





第II卷 非选择题(共110分）

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡指定位置.

9. 若复数
，（

）是纯虚数，复数
在复平面内对应的点的坐标为_____．

10．连续抛两枚骰子分别得到的点数是
，
，设向量
，

向量
，则
的概率是_____．

11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为_____．

12．已知函数
则
____；若
，则实数
的取值范围是_____．

13．已知命题
＜
.若
是真命题，则实数
的取值范围是_____．

14. 实数
满足
，若
恒成立，则实数
的最大值是_____．

三、解答题：本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题共13分）

已知数列
中，点
在直线
上，且首项
是方程
的整数解.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）数列
的前
项和为
，等比数列
中，
，
，数列
的前
项和为
，当
时，请直接写出
的值.

16.（本小题共13分）

已知函数
的图象的一部分如图所示．

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）当
时，求函数
的最大值与最小值及相应的x的值．

17.（本小题共13分）

教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一，“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题。某社会调查机构为了调查学生家长对解决“择校热”的满意程度，从
四个不同区域内分别选择一部分学生家长作调查，每个区域选出的人数如条形图所示.为了了解学生家长的满意程度，对每位家长都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取
份进行统计，统计结果如下面表格所示：

满意

一般

不满意




区域

50%

25%

25%




区域

80%

0

20%




区域

50%

50%

0




区域

40%

20%

40%





（Ⅰ）若家长甲来自
区域，求家长甲的调查问卷被选中的概率；

（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的家长中再选出

人进行面谈，求这
人中至少有一人来自
区域的概率.

18.（本小题共14分）

如图，四棱锥
中，侧面
⊥底面
,底面
是直角梯形，

∥
，
，
,△
是正三角形，
为
的中点.

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：

平面
.

19.（本小题共13分）

已知函数
，
是常数，
R．

（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线
的方程；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（III）证明:函数

的图象在直线
的下方．

20.（本小题共14分）

已知椭圆
：

的离心率为
，
是椭圆上的任意一点，且点
到椭圆左右焦点
，
的距离和为
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）经过点
且互相垂直的直线
、
分别与椭圆交于
、
和
、
两点（
、
、
、
都不与椭圆的顶点重合），
、
分别是线段
、
的中点，
为坐标原点，若
、
分别是直线
、
的斜率，求证：
为定值．

房山区2015年高三第一次模拟试题

高三数学(文科)

参考答案

一、选择题（每题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

A

C

A

B

D

B

D



二、填空题（每题5分，共30分）

9．
; 10.
; 11.
； 12.
，
; 13.
14.

三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。共80分）

15.（本小题共13分）

解：（I）根据已知
，
即
， ………………2分

所以数列
是一个等差数列，
………………4分

（II）数列
的前
项和
………………6分

等比数列
中，
，
，所以
，
……………9分

数列
的前
项和
……………11分

即
，又
，所以
或2 ……………13分

16．（本小题共13分）

解：(I)由图象知A＝2，T＝8＝，

∴ω＝，得f(x)＝2sin.

由×1＋φ＝2kπ＋?φ＝2kπ＋，

又|φ|<，∴φ＝.∴f(x)＝2sin ……………6分

(II)y＝2sin

∵x∈
，

∴
，

∴当
，即
时
取得最大值为

当
，即
时
取得最大值为
……………13分

17.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由条形图可得，来自A，B，C，D四个区域的家长共有200人， ……………1分

其中来自A区域的家长为40人， ……………2分

由分层抽样可得从A区域的家长问卷中抽取了
份. ……………4分

设事件
=“家长甲被选中进行问卷调查”， ……………5分

则
. ……………6分

(II) 由图表可知，来自A，B，C，D四区域的家长分别接受调查的人数为4，5，6，5.

其中不满意的家长人数分别为1，1，0，2个 . ………7分

记来自A区域不满意的家长是a；来自B区域不满意的家长是b；

来自D区域不满意的家长是c，d. ………8分

设事件N=“从填写不满意的家长中选出2人，至少有一人来自区域D” …………9分

从填写不满意的学生中选出2人，共有

(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件， ……10分

而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， ………11分

故
. ………13分

18.（本小题共14分）

证明：（I）设
为
的中点,连结
，

∵
为
的中点

∴
∥
，

∵
∥
，

∴四边形
是平行四边形

∴
∥
………6分

又
平面
，
平面

∴
∥平面

(II)∵
∥
，

∴
⊥

又侧面
⊥底面
，侧面
底面
,
平面

∴
⊥平面
,又
平面

∴
⊥

∵△
是正三角形，
为
的中点

∴
⊥

又

,
平面
,
平面

∴
⊥平面

∵
∥

∴
⊥平面
…………………14分

19.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）
…………………2分

，
，所以切线
的方程为

，即
． …………………4分

（Ⅱ）
定义域为

（1）当
时，
，
在
为增函数

（2）当
时，

令
得，
或

①当
时，
在
为增函数

②当
时，
在
上是增数，在
是减函数 …………………9分

（Ⅲ）令
则





















↗

最大值

↘




，所以
且
，
，
，

即函数
的图像在直线
的下方． ……………13分

20.（本小题共14分）

解：（Ⅰ）∵点
到椭圆左右焦点的距离和为4.

∴
，
.

又
，∴
，
.

∴椭圆
的标准方程为：
…………………5分

（Ⅱ）∵直线
、
经过点
且互相垂直，又
、
、
、
都不与椭圆的顶点重合

∴设
：
，
：
；点
、
、
、

由

∵点
在椭圆内，∴△

∴
，

∴
，

∴

同理

∴
…………………14分

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