本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．若集合
，且
，则集合可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．在极坐标系中，圆
被直线
截得的弦长为（ ）

A．
B．  C．
D．

3．执行如右图的程序框图，若输出的
，

则输入的值可以为 （ ）

A． B． 　

C． D．

4．已知
，“函数
有零点”是“函数
在
上为减函数”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．二项式
的展开式中，常数项的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．等差数列
中，

，则该数列前
项之和为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．在如图所示的空间直角坐标系
中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）

① ② ③ ④

A．①和② B．③和① C．③和④ D．④和②

8．如果双曲线的离心率
，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题：

①双曲线
是黄金双曲线； ②双曲线
是黄金双曲线；

③在双曲线
中， F1为左焦点， A2为右顶点， B1（0，b），若∠F1 B1 A2
,则该双曲线是黄金双曲线；

④在双曲线
中，过焦点F2作实轴的垂线交双曲线于M、N两点，O为坐标原点，若∠MON
，则该双曲线是黄金双曲线．

其中正确命题的序号为（ ）

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．
，为复数的共轭复数，则
___________．

10．如图，AB是半径等于3的圆O的直径，

CD是圆O的弦，BA、DC 的延长线交于点P，

若PA ＝4，PC ＝5，则∠CBD＝ ___________．

11．设不等式组
表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆
内的概率为___________．





















































































12．如图，在
的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量

满足
，则
．

13．若甲乙两人从门课程中各选修门，则甲乙所选的

课程中恰有门相同的选法有 种（用数字作答）．

14．已知集合
，若对于任意
，都存在
，使得
成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：

①
；　　 ②
；

③
； ④
．

其中是“垂直对点集”的序号是 ．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

在平面直角坐标系
中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点
，将射线
绕坐标原点按逆时针方向旋转
后与单位圆交于点
. 记
.

(Ⅰ)求函数
的值域；

(Ⅱ)设
的角
所对的边分别为
，

若
，且
，
，求.

16．（本小题满分13分）

空气质量等级

优

良

轻度污染

中度污染

重度污染

严重污染



AQI值范围

[0,50)

[50，100）

[100,150)

[150,200)

[200,300)

300及以上



国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：

下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市2015年3月某时刻实时监测到的数据：

西部城市

AQI数值

东部城市

AQI数值



西安

108

北京

104



西宁

92

金门

42



克拉玛依

37

上海

x



鄂尔多斯

56

苏州

114



巴彦淖尔

61

天津

105



库尔勒

456

石家庄

93



AQI平均值：135

AQI平均值：90



(Ⅰ) 求x的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI数值的方差的大小关系（只需写出结果）；

(Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为
，求
的分布列和数学期望．

17．（本小题满分14分）

如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，CD＝4．

(Ⅰ)求证：BC⊥平面BDE；

(Ⅱ)试在平面CDE上确定点P，使点P到

直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF

所成的角等于30°．

18．（本小题满分13分）

已知函数
．

(Ⅰ)若
，求函数
的极值；

(Ⅱ)设函数
，求函数
的单调区间；

(Ⅲ)若存在
，使得
成立，求的取值范围．

19．（本小题满分14分）

已知椭圆C:
离心率
，短轴长为
．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．

20．（本小题满分13分）

设数列
满足：

①
；

②所有项
；

③
．

设集合
，将集合
中的元素的最大值记为
，即
是数列
中满足不等式
的所有项的项数的最大值．我们称数列
为数
的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．

(Ⅰ)若数列
的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列
；

(Ⅱ)设
，求数列
的伴随数列
的前30项之和；

(Ⅲ)若数列
的前项和
（其中常数），求数列
的伴随数列

的前项和
．

2015年石景山区高三统一测试

数 学（理）参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

C

C

B

A

C

D

B



二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

题号

9

10

11

12

13

14



答案









180

③④



三、解答题共6小题，共80分．

15．（本小题共13分）

（Ⅰ）由题意，得
， ………………3分

所以
， ………………5分

因为
，所以
，故
. ………7分

（Ⅱ）因为
，

，所以
， ………………9分

在
中，由余弦定理得
，

即
，解得
. ……………13分

16．（本小题共13分）

（Ⅰ）x82 ………………2分

D东部

（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个．

根据题意
的所有可能取值为：
． ………………5分

,
，
． …11分




















的分布列为：

所以
． ………………13分

17．（本小题共14分）

（Ⅰ）证明：因为平面ABEF平面ABCD，EDAB．

所以ED平面ABCD ………………1分

又因为BC平面ABCD，所以EDBC． ………………2分

在直角梯形ABCD中,由已知可得

BC2=8，BD2=8，CD2=16，所以，CD 2=BC2+BD2 ，所以，BDBC ……………4分

又因为ED
BD=D，所以BC平面BDE． ……………5分

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系Dxyz ……6分

则

…………7分

设
，则

令
是平面BEF的一个法向量，

则

所以
，令
，得
所以
…………9分

因为AP与平面BEF所成的角等于
，

所以AP与
所成的角为
或

所以
………11分

所以

又因为
，所以
或
………12分

当
时，（*）式无解

当
时，解得：
………13分

所以，
或
. ………14分

18.（本小题共13分）

（Ⅰ）
的定义域为
． ………1分

当