顺义区2015届高三第一次统一练习数学试卷(文科)

一、选择题.(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1.已知集合
,则

A.
B.
C.
D.

2.下列函数中,既是奇函数又在区间
上单调递减的是

A.
B.
C.
D.

3.在复平面内,复数
对应的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4.当
时,执行如图所示的程序框图,输出的
的值等于

A.2 B.4 C.7 D.11

5.若
,则
的取值范围是

A.

B.

C.

D.

6.函数
的图像关于轴对称的

充分必要条件是

A.

B.

C.

D.

7.已知无穷数列
是等差数列,公差为
,前项和为
,则

A.当首项
时,数列
是递减数列且
有最大值

B.当首项
时,数列
是递减数列且
有最小值

C.当首项
时,数列
是递增数列且
有最大值

D.当首项
时,数列
是递减数列且
有最大值

8.某桶装水运营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示:

销售单价/元

6

7

8

9

10

11



日均销售量/桶

480

440

400

360

320

280





设在进价基础上增加元后,日均销售利润为元,且
.该经营部要想获得最大利润,每桶水在进价的基础上应增加

A.3元 B.4元 C.5元 D.6元

二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)

9.双曲线
的离心率为
,则
,其渐近线方程为 .

10.不等式组
所表示平面区域的面积为 .

11.设向量
,若
,则实数
.

12.已知函数
,则
在闭区间
上的最小值为 ,最大值为 .

13.已知直线
,点
是圆
上的动点,则点到直线
的距离的最小值为 .

14.已知函数
.又
且
的最小值等于,则的值为 .

三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

设数列
满足:
.

(I)求
的通项公式及前项和
;

(II)已知
是等比数列,且
.求数列
的前项和.

16.(本小题满分13分)

在
中,角
所对的边分别为
,已知
,

为钝角..

(I)求的值;

(II)求
的值.

17.(本小题满分14分)

如图(1),在Rt
中,
分别是
上的点,且
.将
沿
折起到
的位置,使
,如图(2).

(I)求证:
平面
;

(II)求证:
;

(III)线段
上是否存在点,使平面
.若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.

18.(本小题满分13分)

某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了50名市民,他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表:

月收入(单位:百元)















频数

5





10

5

5



频率

0.1





0.2

0.1

0.1



赞成人数

4

8

12

5

3

1



(I)若所抽调的50名市民中,收入在
的有15名,求
的值,并完成频率分布直方图;

(II)若从收入(单位:百元)在
的被调查者中随机选取两人进行追踪调查,求选中的2人至少有1人不赞成“楼市限购令”的概率.

19.(本小题满分14分)

已知椭圆
.

(I)求椭圆
的离心率;

(II)设椭圆
与轴下半轴的交点为,如果直线
交椭圆
于不同的两点
,且
构成以
为底边,为顶点的等腰三角形,判断直线
与圆
的位置关系.

20.(本小题满分13分)

已知函数
.

(I)当
时,求函数
的单调区间;

(II)设
,且函数
在点
处的切线为
,直线
,且
在轴上的截距为1,求证:无论取任何实数,函数
的图像恒在直线
的下方;

(III)已知点
,且当
时,直线
的斜率恒小于2,求实数的取值范围.

顺义区2015届高三第一次统一练习

数学试卷答案(文科)

一、CBBD DCAD

二、

9.
10.
11.

12.
13.
14.

三、

15.解:(I)因为
,

所以
,

所以数列
是以
为首项,公差
的等差数列,

所以
,

............... ...........................................4分

.

............... ...........................................6分

(II)由(I)可知
,

所以
,

所以
................ ...........................................9分

设等比数列
的公比为,

则
,

所以
, ............... ...........................................11分

所以数列
的前项和
.

............... ...........................................12分

16.解:(I)在
中,因为
,

所以
. ...........................................3分

由正弦定理,
得
.

............... ...........................................6分

(II)因为为钝角,

所以，
. ...........................................8分

由(I)可知,
, 又

所以
...........................................10分

............... ...........................................13分

17.(I)证明:因为
分别为
上的点,且
,

又因为
,

所以
平面
. ............... ...........................................3分

(II)证明:因为
,

所以
,

由题意可知,
, ............... ...........................................4分

又
,

所以
, ............... ...........................................5分

所以
, ............... ...........................................6分

所以
, ............... ...........................................7分

又
,且
,

所以
, ............... ...........................................8分

又
,

所以
. ............... ...........................................9分

(III)解:线段
上存在点,使平面
.

理由如下:

因为
,

所以,在Rt
中,过点作
于,

由(II)可知,
,又

所以
,

又
,

所以
,... ...........................................12分

因为
,

所以平面
,

故线段
上存在点,使平面
. ................................13分

如图（1），因为
,

所以，
，即
,

所以，
.

所以，如图（2），在
中,

所以，
,

在
中,
............... ...........................................14分

18.解:(I)由频率分布表得
,

即
.

因为所抽调的50名市民中,收入(单位:百元)在
的有15名,

所以
,

所以
,

所以
,

且频率分布直方图如下:

............... ...........................................4分

(II)设收入(单位:百元)在
的被调查者中赞成的分别是
,不赞成的分别是
,

事件
:选中的2人中至少有1人不赞成“楼市限购令”,

则从收入(单位:百元)在
的被调查者中,任选2名的基本事件共有10个:

,

,
,

, ............... ...........................................10分

事件
包含的结果是
,
,
,
共7个, ............... ...........................................11分

所以
, ............... ...........................................12分

故所求概率为
. ............... ...........................................13分

19.解:(I)由题意,椭圆
的标准方程为
,

所以
,

因此
,

故椭圆
的离心率
. ............... ...........................................4分

(II)由
得
,

由题意可知
. ............... ...........................................5分

设点
的坐标分别为
,
的中点
的坐标为
,

则
,