顺义区2015届高三第一次统一练习数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1.已知集合
，
，则

2.在复平面内，复数
对应的点位于

第一象限
第二象限
第三象限
第四象限

3.
是“曲线
关于轴对称”的

充分而不必要条件
必要而不充分条件

充分必要条件
既不充分也不必要条件

4.当
时，执行如图所示的程序框图，输出的
值为

5.若
，则
的取值范围是

6.若双曲线
的离心率为
，则其渐近线方程为

7.若
满足
且
的最小值为
，则
的值为

8.已知
为定义在上的偶函数，当
时，有
，且当
时，

，给出下列命题

； ②函数
在定义域上是周期为2的函数；

③直线
与函数
的图象有2个交点；④函数
的值域为
.

其中正确的是

①，②
②，③
①，④
①，②，③，④

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

9.已知圆的极坐标方程为
，圆心为
，点
的极坐标为
，

则

10．设向量
，若
，则实数

11.已知无穷数列
满足：
.则数列
的前项和的最小值为

12. 如图，在圆内接四边形
中，
//
，过点作圆的切线与
的延长线交于点.若
，则

13. 如果在一周内（周一至周日）安排四所学校的学生参观顺义啤酒厂，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有

__________种（用数字作答）.

14.已知函数
又
且
的最小值等于.则的值为

三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分13分）

在
中,角
所对的边分别为
,已知
,
.

(I)求的值;

(II)求
的值.

16.（本小题满分13分）

某农民在一块耕地上种植一种作物，每年种植成本为
元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

（I）设表示该农民在这块地上种植1年此作物的利润，求的分布列；

（II）若在这块地上连续3年种植此作物，求这3年中第二年的利润少于第一年的概率.

17.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
//
，
，平面
底面
，
为
的中点，
是棱
的中点，

（I）求证：
；

（II）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（III）求二面角
的余弦值.

18.（本小题满分13分）

已知函数
.

（I）当
时，求函数
的单调区间；

（II）设
，且函数
在点
处的切线为
，直线
//
，且
在

轴上的截距为1.求证：无论取任何实数，函数
的图象恒在直线
的下方.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆

（I）求椭圆
的离心率；

（II）设椭圆
上在第二象限的点的横坐标为
，过点的直线
与椭圆
的另一交点分别为
.且
的斜率互为相反数，
两点关于坐标原点
的对称点分别为
,求四边形
的面积的最大值.

20.（本小题满分13分）

已知二次函数
的图象的顶点坐标为
，且过坐标原点
.数列
的前项和为
，点
在二次函数
的图象上.

（I）求数列
的通项公式；

（II）设
，数列
的前项和为
，若
对
恒成立，求实数的取值范围；

（III）在数列
中是否存在这样一些项：

，这些项都能够构成以
为首项，
为公比的等比数列
？若存在，写出
关于
的表达式；若不存在，说明理由.