甘肃省2015届高三第二次高考诊断试卷

数学（理）试题

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷 （选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足（1 +
i）z =1 +i，则|z|等于

A．
B．一
C．
D．2

2．设全集U=N，集合
，则
等于

A．{1,2} B．{1} C．{0,1,2} D．{0,l}

3．在△ABC中，∠A =120°，
,则
的最小值是

A．2 B．4 C．2
D．12

4．某几何体的三视图如右图所示，正视图是面积为
的半圆，俯视图是正三角形，此几何体

的体积为

A.
B.

C.
D.

5．若
，则a，b，c的大小关系是

A．c>b>a B．b >c>a

C．a>b>c D．b >a>c

6.如图所示的计算机程序的输出结果为

A.

B.

C.

D.

7．某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

由表中数据，求得线性回归方程为
= -4x +a．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为

A．
B．
C.
D.

8．已知
，满足tan（
） =4 tan
卢，则tan
的最大值是

A．
B．
C.

D.

9．设等差数列{
}的前n项和为Sn,且满足．S17 >0,S18 <0，则
中最大的项为

A.
B.
C.
D.

10．设定义域为R的函数f（x）满足以下条件：①对任意x∈R,f（x）+f（-x）=0；②对任意

,当
时,
．则下列不等式一定成立的是

①
②
③
④

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③

11．双曲线
与抛物线
相交于A，B两点，公共弦

AB恰过它们的公共焦点F．则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在区间可能是

A．(
） B．(
) C．（
） D．（
）

12．已知函数
有且只有一个零点，则k的值为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第

22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设二项式
，的展开式中常数项是k，则直线y=kx与曲线y=
围成图形的面积为

14．关于函数以
有以下命题：

①若
，则
；

②函数
在区间[
]上是减函数；

③将函数
的图象向左平移
个单位，得到的图象关于原点对称；

④函数
的图象与函数
的图象相同．

其中正确命题为____（填上所有正确命题的序号）．

15．用0，1，2，3，4五个数组成无重复数字的五位数，其中1与3不相邻，2与4也不相邻，则这样的五位整数共有 个．

16. 已知函数
若存在k使函数
的值域是[0,2]，则实a的取值范围是____．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．（本小题满分12分）

已知数列{an}中，a1 =2，且
．

（I）求
，并证明{
}是等比数列；

（II）设
，求数列{bn}的前n项和Sn．

18．（本小题满分12分） Ⅳ

如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，

AB =2AD =6．

（I）若点E是AB的中点，求证：BM∥平面NDE；

（Ⅱ）在线段AB上找一点E，使二面角D- CE -M的大小为
时，求出AE的长．

19．（本小题满分12分）

某工厂生产A，B两种产品，其质量按测试指标划分，指标大于或等于88为合格品，小于88为次品．现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：

（I）试分别估计产品A，B为合格品的概率；

（Ⅱ）生产l件产品A，若是合格品则盈利45元，若是次品则亏损10元；生产1件产品B，若是合格品则盈利60元，若是次品则亏损15元．在（I）的前提下，（i）X为生产l件产品A和1件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件产品B所得利润不少于150元的概率．

20．（本小题满分12分）

椭圆
的离心率
，过椭圆右焦点F且斜率为1的直线
截椭圆所得弦长为
．

（I）求椭圆C的方程；

（n）已知A、B为椭圆长轴的两个端点，作不平行于坐标轴且不经过右焦点F的割线PQ，若满足∠AFP=∠BFQ，求证：割线PQ恒经过一定点．

21．（本小题满分12分）

已知函数

（I）若a= -1，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若函数y=
的图象在点（2
）处的切线的倾斜角为45°，对于任意的
，函数
在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；

（Ⅲ）求证：

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作笞，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的

题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答题第一题评分；多答按所答第一题评分．

22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，△ABC为圆的内接三角形，AB =AC，BD为圆的弦，且

AC∥BD．过A作圆的切线与DB的延长线交于点F，AD与

BC交于点E．

（I）求证：四边形ACBF为平行四边形；

（Ⅱ）若AF =2
，BD =3求线段BE的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的长度单位．已知圆C的参数方程是
为参数），直线
的极坐标方程是
．

（I）求圆C的极坐标方程；

（n）过圆C上任意一点P作与
夹角为45°的直线，交
于点Q，求｜PQ｜的最大值与最小值．

24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

已知函数
．

（I）当m=3时，求不等式
≤1-2x的解集；

（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集包含{x|x≥1}，求m的取值范围．

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