平顶山、许昌、新乡三市2015届高三第二次调研考试

理科数学答案

一、选择题（每小题5分）

1．B；2．B；3．C；4．A；5．D；6．B；7．A；8．A；9．B；10．C ；11．D ；12．B．

二、填空题（每小题5分）

13．
； 14．
； 15．5； 16．
．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的
名学生中，“高中组”中“学霸”人数为
（人），“初中组”中“学霸”人数为
（人），据此可得
列联表如下：

学霸

非学霸

合计



高中组









初中组









合计









所以得：

因为
，所以没有
的把握认为“学霸”与学生所在的年级组有关． ……8分

（Ⅲ）由已知，样本中“周平均学习时间”不足50小时的学生中，“高中组”学生有
（人），

“初中组”学生有
（人），所以，X
．

∴
，
，
．

∴X的分布列为

X

0

1

2













∴
． ……12分

19．解：（Ⅰ）由已知条件可得

． ……2分

∵平面
平面
，平面
平面
，∴
平面
．

又∵
平面
，∴
． ……4分

（Ⅱ）以点为原点，
所在的直线为轴，
所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．

由已知可得

． ………6分

假设在线段
上存在点N，使得
与平面
所成角为
．

设
，则
，∴
． ……8分

又∵平面
的法向量
且直线
与平面
所成角为
，

∴
， ……10分

可得
，∴
（舍去）．

综上，在线段
上存在点N，使
与平面
所成角为
，

此时
． ……12分

20．解：（Ⅰ）∵
，∴椭圆的方程为
，

设
，
，并将AB：
代入椭圆得：

， （1）

∴解得
或
．

将其代入
，得
或
． ……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可取A（0，c)，B（
，
），AB的中点为（
，
）．

　　　　∴AB的中垂线CD的方程为
．

设
，
，将CD：
代入椭圆得：
．

∵

．

∴
，∴A，B，C，D四点共圆．

∵CD的中点为
，半径为
，

∴经过A，B，C，D四点的圆的方程为
． ……12分

（Ⅲ）设
，
，

，

∴当
时，
，
，

∴当
时，
递减，又
，

∴
在
上有唯一的零点
，

且当
时，
，即
成立．

由（Ⅱ）可知，当
时，
．

∴最大整数
． ……12分

24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

解：（Ⅰ）当x<0时，原不等式可化为
，解得
，又∵
，∴不存在；

当
时，原不等式可化为
，解得
，又∵
，∴
；

当
时，原不等式可化为
，解得
，又∵
，∴
；

综上，原不等式的解为
． …… 5分

（Ⅱ）由
得
，

∴
，

∴
的最大值为
，此时相应的
，
． ……10分