201５年哈尔滨市高三二模测试

数学（理科）参考答案与评分标准

一．选择题

（1）C；（2）A；（3）B；（4）C；(5)B；（6）C；（7）D；（8）B；（9）D；（10）D；（11) A；

（12）D．

二.填空题

（13）
；（14）
；(15)
；（16）
.

三.解答题

（17）解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，则由已知条件可得：
，

……………2分

解得
，……………4分

于是可求得
，……………6分

（Ⅱ）因为
，……………7分

故
， ……………8分

……………10分

又因为

，……………11分

所以
，……………12分

（18）解：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M.
∥
……………1分

∵点F为PD中点，∴
. ∴
，

∴AEMF为平行四边形，……………2分

∴AF∥EM，……………3分

∵
，

∴直线AF
平面PEC. ……………5分

(Ⅱ)
，

如图所示，建立坐标系，则 P(0,0,1),C(0,1,0),E(
,0,0),

A(
，
，0)，

∴
，
.

设平面PAB的一个法向量为
.

∵
，
，

∴平面PAB的一个法向量为
.……………7分

∵
，……………8分

∴设向量
∴
，……………10分

∴PC平面PAB所成角的正弦值为
..……………12分

（19）解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7，..……………2分

甲班的方差
，..……………3分

乙班的方差
，..……………4分

因为
，甲班的方差较小，所以甲班的投篮水平比较稳定. ..……………6分

(Ⅱ)
可能取0,1,2

，
，
，

所以
分布列为：

0

1

2



P









..……………8分

数学期望
..……………9分

可能取0,1,2

，
，
，

所以分布列为：

0

1

2



P









..……………11分

数学期望
..……………12分

（20）解：(Ⅰ)
，..……………1分

，
，..……………3分

椭圆
方程为
。..……………4分

（Ⅱ）法一：椭圆
:
，当
时，
，

故
，

当
时，
。..……………5分

切线方程为
，

，
。..……………6分

同理可证，
时，切线方程也为
。

当
时，切线方程为
满足
。..……………7分

综上，过椭圆上一点
的切线方程为
。..……………8分

解法2. 当斜率存在时，设切线方程为
，联立方程：

可得
，化简可得：

，①..……………5分

由题可得：
，

化简可得：
，..……………6分

①式只有一个根，记作
，
，
为切点的横坐标，

切点的纵坐标
，所以
，所以
，

所以切线方程为：
，

化简得：
。 ..……………7分

当切线斜率不存在时，切线为
，也符合方程
，

综上：
在点
处的切线方程为
。..……………8分

（其它解法可酌情给分）

（Ⅲ）设点
为圆
上一点，
是椭圆
的切线，切点
，过点的椭圆的切线为
，过点的椭圆的切线为
。

两切线都过点，
。

切点弦
所在直线方程为
。..……………9分

，
，..……………10分

。

当且仅当
，即
时取等，..……………11分

，
的最小值为
. ..……………12分

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
，.

所以
，即
．..……………1分

又
，所以
，..……………2分

所以
．..……………3分

（Ⅱ）
，

..……………4分

..……………5分

，函数
在上单调递增； .……………6分

函数
的单调递增区间为
，

单调递减区间为
． .……………7分

（Ⅲ）解：设
，

，
在
上为减函数，又
，

当
时，
，当
时，
...……………8分

当
时，

设
，则
，
在
上为减函数，

，

，
，

..……………9分

时，

设
，则
，

在
时为减函数，
，

在
时为减函数，
，

..……………11分

综上：
. ..……………12分

(22) 解：（1）连接
，

是直径，
..……………1分

设
≌
..……………2分

同理
≌
..……………4分

原题得证..……………5分

(2)
,
,..……………6分

又
∥

.，
.……………7分

∽
..……………8分

..……………9分

所以所求圆的半径为2..……………10分

(23)解：（1）圆
的参数方程为
（
为参数）

所以普通方程为
..……………2分

圆
的极坐标方程：
..……………5分

（2）点
到直线

的距离为

..……………7分

的面积
|

..……………9分

所以
面积的最大值为
..……………10分

(24) 解：（1）
，..……………1分

当
..……………2分

当
..……………3分

当
..……………4分

综上所述
．..……………5分

（2）易得
，..……………7分

若
，
恒成立，

则只需
，..……………9分

综上所述
．------------------------------10分