上饶市2015届第二次高考模拟考试

数学（理科）参考答案

一、选择题：1~5 ：ACCBD，6～10：BACDA ， 11~12：DB

二、填空题：13、
14、31 15、8 16、①②④

三、解答题：

17、解：（1） 因为
…………2分

，
…………………………6分

（2）由
,得
，……………7分

，

周长的最大值为21……………………………………12分

18、解析：（Ⅰ）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为

高于全省的平均值170.5 ……4分

（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人数为10人. ……………6分

（Ⅲ）
，

，0.0013×100 000=130.

所以，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人.

随机变量
可取
，于是

,
,

. ………………………………12分

19、解析：(1)证明： 因为
平面
， 所以
. ……………3分

因为
是正方形，所以
，又
相交从而
平面
. …………6分

(2)解：因为
两两垂直，所以建立空间直角坐标系
如图所示.因为
与平面
所成角为
，即
，

所以
.由
可知
，
. …8分

则
，
，
，
，
，

所以
，

设平面
的法向量为

，则
，即
，令
，则

.

因为
平面
，所以
为平面
的法向量，
，

所以
.

因为二面角为锐角，所以二面角
的余弦值为
. ………12分

20、解析：(1)易得
，
，
，设
，则
，

直线PS与TE交于C，故
，
① 且
，② 。 ……2分

①②相乘得
，又点P是圆O上的动点，故
即
，4分

要使
为定值，则
解得
此时

即
时，点C的轨迹曲线E的方程为
…………6分

（2）设A，B两点的坐标分别为
，假设使
成立的直线
存在，

（ⅰ）当
不垂直于x轴时，设
的方程为
，

由
与垂直相交于Q点且|
|=1.得
，即
…………7分

∵

∴

即
，将
代入椭圆方程，得

由求根公式可得
， ④
⑤

=

=

将④，⑤代入上式并化简得
⑥

将
代入⑥并化简得
，矛盾 即此时直线
不存在 …………10分

（ⅱ）当
垂直于x轴时，满足
的直线
的方程为x=1或x=-1，

当X=1时，A,B,Q的坐标分别为
，∴
，

∴
当x=-1时，同理可得
，矛盾 即此时直线
也不存在

综上可知，使
成立的直线
不存在. …………12分

21、（1）解：∵关于的不等式
的解集为
，

等价于
的解为
，

∴
. ∴
. …………3分

（2）解:由（Ⅰ）得

.

∴



的定义域为
.由


.

由题意，函数

存在极值点等价于函数
有两个不等的零点，且至少有一个零点在
上. 令


,

得

, (*)

则
,(**)

方程（*）的两个实根为
,
.

①当
时，
，方程（*）的两个实根为

则函数
在
上单调递减，在
上单调递增.

∴函数
有极小值点
.

②当
时，由
,得
或
，

若
，则

故

时，
，∴函数
在
上单调递增. 函数
没有极值点.

若
时，

∴函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.

∴函数
有极小值点
，有极大值点
.

综上所述, 当
时，
取任意实数, 函数
有极小值点
；

当
时，
，函数
有极小值点
，有极大值点
.

(其中
,
) …………8分

（3）证法1：∵
， ∴

.

∴

.

令
，∵
，

.

∴
，即
. …………12分

证法2：用数学归纳法证明不等式

.

① 当
时，左边
，右边
，不等式成立；

② 假设当

N
时，不等式成立，即

，

则

. …………12分

也就是说，当
时，不等式也成立. 由①②可得，对
N
，

22、解：（1）
：
，
：
，

曲线
关于曲线
对称，
，
：

（2）
；

，

23、解析：（1）f(x)＝

当x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，

所以当x＝0时，f(x)的最小值m＝1． ………5分

(2) 由柯西不等式
，

故
，当且仅当
时取等号.?? …………10分