2015年南宁市高中毕业班第二次适应性测试

数 学(理)参考答案 2015．3

1.Ｄ 2．B 3.A 4．A 5. Ａ 6．D 7．Ｃ 8 .D　 9．Ｄ 10．C　 11.B 12． B

提示：

.即
，又

,则

＝
恒成立,

13.
　14． 3 15．
　 16．
或
解析：依题设得椭圆的方程为
，直线
的方程分别为
，
．如图，设
，其中
，且
满足方程
，故
．①由
知

，得
；

由在
上知
，得
．所以
，

化简得
，解得
或
．

17． 解：(Ⅰ) 设数列
的公比为，

∵
，
，
成等差数列，∴
， ………………………1分(1分)

， ………………………1分(2分)

，解得
或
． ………………………1分(3分)

∵
………………………1分(4分)

∵
，∴数列
的通项公式
………………………1分(5分)

………………………1分(6分)

(Ⅱ) ∵
………………………1分(7分)

∴

…………………………2分(9分)

………………1分(10分)

…………………1分(11分)

. ………………………………………1分(12分)

18． 解：（Ⅰ）设样本总数为n,

∵ 由频率分布直方图可知：次数在[100,110)间的频率为

0.014×10=0.14，　　　　　………………………1分(1分)

∴　
，解得n=50人.　…………………１分(２分)

（Ⅱ）记抽中不达标学生的事件为C，抽中达标学生的事

件为B，抽中优秀学生的事件为A．

P(C)=0.006×10+0.014×10=0.2；……………………１分(３分)

P(B)=0.028×10+0.022×10=0.50；……………………１分(４分)

P(A)=1-P(B)-P(C)=0.30．　　………………………１分(５分)

（Ⅲ）∵在高一年级中随机抽取2名学生的成绩和X=10，15，20，25，30………………………………1分(6分)

∴P(X=10)=0.2×0.2=0.04； 　P(X=15)=2×0.2×0.5=0.2；　P(X=20)=0.52+2×0.2×0.3=0.37；

P(X=25)=2×0.3×0.5=0.3；　P(X=30)=0.32=0.09．［对一个给１分，但不超过４分］………４分(10分)

X

10

15

20

25

30



P

0．04

0．2

0．37

0．3

0．09



∵E(X)=0.04×10+0.2×15+0.37×20+0.3×25+0.09×30　　　　　　………………………1分(11分)

∴E(X)=21 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………1分(12分)

19． 解：(Ⅰ)取为线段
中点，取
的中点为，连
,
，…………………２分(２分)

∵
分别为
，
的中点,
∥

．∵
为平行四边形,
∥
，且
,

∴
∥
且
＝
，∴四边形
是平行四边形．　　　　………………………１分(３分)

∴
∥
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………１分(４分)

∵
平面
，∴
∥平面
．　　　　　　　　　　　　　……………………１分(５分)

(Ⅱ)以
为轴，过点做
的垂线为轴，
为轴建立空间直角坐标系……………１分(６分)

∵


　　　　　　　　……………………１分(７分)

∵设



．……………１分(8分)

．设平面
的法向量
，

则
　　
，　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………１分(9分)

令
可得
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………1分(10分)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………1分(11分)

,　∴直线
与平面
所成的角的正弦值为
. 　　 ………………………１分(12分)

20． 解：（Ⅰ）解法一：设
，
，把
代入
得
，

得
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………１分(１分)

∵
，
点的坐标为
．　　　　　………………………１分(２分)

∵
　∴
，　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………１分(３分)

即抛物线在点
处的切线的斜率为
．　　　　　　　　　　　　　………………………１分(４分)

∵直线
:
的的斜率为
，∴
．　　　　　　　　　　……………………１分(５分)

解法二：设
，
，把
代入
得
，

得
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………１分(１分)

∵
，
点的坐标为
．　　　　　………………………１分(２分)

设抛物线在点
处的切线
的方程为
，

将
代入上式得
，　　　　　　　　　………………………１分(３分)

直线
与抛物线
相切，
，………１分(４分)

，即
．］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………１分(５分)

（Ⅱ）假设存在实数
，存在实数
使
为直径的圆
经过点
．

是
的中点，
．　　　　　　　　　　　　………………………１分(６分)

由（Ⅰ）知　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………１分(７分)

轴，
．　………………………１分(８分)

∵
　　　　　　　　　　　………………………１分(９分)

．　　　　………………………１分(10分)

，∴
，

使存在实数
使
为直径的圆
经过点
．　　　　　………………………2分(12分)

21.解： (Ⅰ)
. ………………………1分(1分)

∵当≥0时，
≥
，∴
在
上有
≥0，

在
上单调递增， ………………………………………………………1分(2分)

． ………………………………………1分(3分)

∵关于的不等式
≥0在
(是自然对数底数)上有实数解，

∴
≥，即≤
． ……………………………………1分(4分)

(Ⅱ)∵
∴
． ……………………１分(５分)

∵
在
上
在
上
， ………………………１分(６分)

．　　　　　　　　　　　 …………………………………………………………………….. 1分(７分)

∵的方程
至少有一个解，∴≥0,最小值为0．　　 …………………………1分(８分)

（Ⅲ）证明：∵由(Ⅱ)可知
在
上恒成立，

∴
，当且仅当
时等号成立．　　　　　　　　　　　 …………………………………1分(9分)

∵令
，
，
，有
，即
，………………２分(10分)

∴取
，所得不等式相加得
．………………………. 1分(12分)

22． 解：(Ⅰ)∵
为半圆的切线，
⊥
，

∴
∥
，∠
=∠
．　　　　　　……………………２分(２分)

∵
，∴∠
=∠
．　　　　………………………２分(４分)

即
平分∠
． 　　………………………１分(５分)

(Ⅱ)∵
共圆，∴∠
∠
．………………………１分(６分)

∵
为半圆的切线，∴∠
∠
．………………………１分(７分)

∵
～
,　　　　　　　　　　　　………………………１分(８分)

∴　
．　　……………………………………………………………………………1分(９分)

∵
,
,
，∴
．……………………………………1分(10分)

23． 解：(Ⅰ) ∵椭圆
的普通方程为
，………………1分(1分)

∴
． ………………………1分(2分)

∵直线
的普通方程为
， ………………………1分(3分).

∵
, ∴
………………………1分(4分)

∵
∴
． ………………………1分(5分)

(Ⅱ) 将直线的参数方程
代入椭圆
的普通方程
，并整理，

得
. ………………………1分(6分)

设点
在直线参数方程中对应的参数分别为
　 ………………………1分(7分)

则