柳州市2015届高中毕业班3月份模拟考试题

文科数学参考答案

一、选择题

题　号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答　案

C

B

A

B

D

D

C

B

D

A

A

B



3.A　【解析】若采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，则需要分为50组，每组20人，若第一组抽到的号码为8，则以后每组抽取的号码分别为28，48，68，88，108，……，所以编号落入区间[1，400]的有20人，编号落入区间[401，750]的有18人，所以做问卷C的有12人．

4．B　【解析】第一次循环：x＝2x＋1＝7，n＝n＋1＝2，此时满足条件，继续循环；

第二次循环：x＝2x＋1＝15，n＝n＋1＝3，此时满足条件，继续循环；

第三次循环：x＝2x＋1＝31，n＝n＋1＝4，此时不满足条件，结束循环，所以输出的x的值为31.

5．D　【解析】由f(x)＝cos 2x向左平移个单位得到的是g(x)＝cos 2，

则g＝cos 2＝cos π＝－1.故D正确．

8．B　【解析】如图，设＝a，＝b，＝c，

由∠AOB＝90°，∠ACB＝90°，则点C在△OAB的外接圆上，则|c|max＝△OAB的外接圆直径，故选B.

9．D　【解析】当x为最大边时，，∴

当3为最大边时，解得1

综上：x的取值范围1

10．A　【解析】因为三棱锥S－ABC的三条侧棱两两垂直，所以该三棱锥的外接球就是以三棱锥S－ABC的三条侧棱为棱的长方体的外接球；长方体的外接球的直径等于长方体对角线；所以外接球的半径为＝3.故选A.

11．A　【解析】设2x2＋x＝t，则f(t)＝a，a>3时，f(t)＝a产生两个根t1，t2，且t1>0，t2>0，这样有四个根；当t1＝－时；产生5个根；当－

12．B　【解析】由y＝，得x2＋y2＝1(y≥0)，∴曲线y＝表示单位圆在x轴上方的部分(含与x轴的交点)．

由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，

若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，

则－1＜k＜0，

∴直线l的方程为：y－0＝k(x－)，即kx－y－k＝0，

则圆心O到直线l的距离d＝＝－.

直线l被半圆所截得的弦长为

＝2＝2＝2，

S△AOB＝d·＝··2＝＝.

令＝t，

则S△AOB＝＝，

所以当t＝，即＝，亦即k＝±时，SΔAOB有最大值为，

再注意到－1＜k＜0，

所以k＝－，故选B.

二、填空题

13.

14．6

15．y＝±x

16．e2＋1

【解析】设t＝f(x)－ex，

则f(x)＝ex＋t，则条件等价为f(t)＝e＋1，

令x＝t，则f(t)＝et＋t＝e＋1，

∵函数f(x)为单调递增函数，

∴函数为一对一函数，解得t＝1，

∴f(x)＝ex＋1，

即f(2)＝e2＋1.

三、解答题

17．【解析】(1)由2Sn＝n2＋n.n≥2时2Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)2分

∴2an＝2Sn－2Sn－1＝2n，∴an＝n(n≥2)4分

又n＝1时，a1＝1适合上式．∴an＝n6分

(2)∵bn＝＋2an－1＝＋2n－1＝＋(2n－1)8分

∴Sn＝＋(1＋3＋…＋2n－1)10分

＝1－＋n2＝n2＋1－12分

18．【解析】(1)依题意可得＝0.32，3分

解得x＝75.5分

(2)∵学生人数为80，退休人员人数为90，

∴在职人员人数为：250－80－90＝80，7分

由y≥70，z≥2，且y＋z＝80，

则基本事件(y，z)为

(70，10)，(71，9)，(72，8)，(73，7)，(74，6)，(75，5)，(76，4)，(77，3)，(78，2)．

共有9组.9分

由≥0.9，得y≥72，

所以满足条件的基本事件共有7组，11分

故所求的概率P＝.12分

19．【解析】证明：(1)设BD交AC于M，连结ME.

∵ABCD为正方形，所以M为AC中点，

又∵E为A′A的中点

∴ME为△A′AC的中位线

∴ME∥A′C.又∵ME?平面BDE，A′C?平面BDE

∴A′C∥平面BDE.6分

(2)VA′－ABCD∶VE－ABD＝4∶112分

20．【解析】(1) f′(x)＝2ax－(x>0)，1分

依题意可得3分

解得a＝2，b＝4.5分

(2)∵g(x)＝f(x)－2x2＋m(x－1)＝m(x－1)－4ln x，x∈(0，1]，

∴g′(x)＝m－＝，7分

①当m≤0时，g′(x)<0，∴g(x)在(0，1]上单调递减，

∴g(x)min＝g(1)＝0.9分

②当0

∴g(x)min＝g(1)＝0.10分

③当m>4时，g′(x)<0在上恒成立，g′(x)>0在上恒成立，

∴g(x)在上单调递减，在上单调递增，

∴g

综上所述，存在m满足题意，其范围为(－∞，4].12分

21．【解析】(1)依题意有c＝2，＝，可得a2＝6，b2＝2.所以所求椭圆的方程为＋＝1.4分

(2)直线l的方程为y＝k(x－2)．联立方程组消去y并整理得(3k2＋1)x2－12k2x＋12k2－6＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝.

设AB的中点M(x0，y0)，得x0＝，y0＝－.得直线MP的斜率为－，又xP＝3，所以|MP|＝·|x0－xP|＝·.当△ABP为正三角形时，|MP|＝|AB|，即·＝·.解得k＝±1.即直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0.12分

22．【解析】(1)解：由A，B，C，D四点共圆，得∠CDE＝∠ABE，

又∠DEC＝∠BEA，∴△ABE∽△CDE，于是＝＝.①

设DE＝a，CE＝b，则由＝，得3b2＝2a2，即b＝a

代入①，得＝＝.5分

(2)证明：由EF∥CD，得∠AEF＝∠CDE.

∵∠CDE＝∠ABE，∴∠AEF＝∠EBF.又∠BFE＝∠EFA，

∴△BEF∽△EAF，于是＝，故FA，FE，FB成等比数列.10分

23．【解析】(1)由曲线C：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，

得x2－y2＝1　①5分

(2)把直线参数方程化为标准参数方程得：

(t为参数)　②

把②代入①得：－＝1

整理，得t2－4t－6＝0

设其两根为t1，t2，则t1＋t2＝4，t1·t2＝－68分

从而弦长为|t1－t2|＝＝＝＝2.10分

24．【解析】(1)当a＝4时，|2x＋1|－|x－1|≤2，

x<－时，－x－2≤2，得－4≤x<－

－≤x≤1时，3x≤2，得－≤x≤3分

x>1时，x≤0，此时x不存在

∴不等式的解集为5分

(2)设f(x)＝|2x＋1|－|x－1|＝

故f(x)∈，即f(x)的最小值为－8分

故a≥10分