上饶市重点中学2015届高三六校第一次联考数学试卷
（文科）

命题学校：上饶市二中 主命题：严慧敏 副命题：江金花

时间：120分钟 总分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．已知为虚数单位，
，若
为纯虚数，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知
，则
（ ）

A．
　　　　　　 B．
　　　　　C．　　　　　 D．

4．从标有１,２,３,４,５,６的６张纸片中任取２张，那么这２张纸片数字之积为６的概率是（ ）

A．
　　　　　　 B．
　　　　　 C．
　　　 　 D．

5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．下面四个命题：

（1）“
”是“
”的充要条件。

（2）命题“正方形是矩形”的否定是“正方形不是矩形”。

（3）“直线∥直线”的充分不必要条件是“直线平行于直线所在的平面”。

（4）命题“若
，则
”的逆命题是真命题。

其中正确命题的序号是（ ）

A．（1）（2） B．（1）（3） C．(4) D．（2）(4)

7．已知向量
，若向量
与向量
的夹角为，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8．观察下列各式：
，
，
若
，则=（ ）

A．80 B．81

C．728 D．729

9．一个几何体的三视图如图所示，

其中俯视图是一个正方形，则这

个几何体的体积是（ ）

A．64 B．32

C．16 D．8

10．定义在R上的函数
，满足
，
'
，若

，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．过抛物线：
的焦点F作倾斜角为
的直线，若直线与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线：
的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．如图，圆
上一定点A(0，1),一动点M从

A点开始逆时针绕圆运动一周，并记由射线OA按逆时针方

向绕O点旋转到射线OM所形成的∠AOM为，直线AM

与X轴交于点N（t,0）,则函数t =
的图像大致为（ ）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

13．若曲线：
在点（0,2）处的切线与直线
垂直，则=_____．

14．某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩分成五段：

，

，它的频率分布直方图如

图所示，则该批学生中成绩不低于90

分的人数是_____．

15．已知变量x，y满足约束条件
，则
的取值范围是_____．

16．若关于的不等式
有解时，实数的最大值为5，则实数的值为_____．

三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知向量
，函数
图像的一条对称轴与其最近的一个对称中心的距离为
.

（1）求
的解析式；

（2）在
中，
分别是角A,B,C的对边，

且

，求边的值.

18．（12分）如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，

其中心为点O.

（1）在正六边形ABCDEF的边上任取一点P，求满足
在
上的投影大于
的概率;

（2）从A，B，C，D，E，F这六个点中随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求大于等于
的概率.

19．（12分）如图1是边长为4的等边三角形，将其剪拼成一个正三棱柱模型（如图2），使它的全面积与原三角形的面积相等。D为AC上一点，且BDDC1.

（1）求证：直线AB1∥平面BDC1

（2）求点A到平面BDC1的距离.

20．（12分）已知数列
的前项和
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）令
，求
的前项和
.

21．（12分）已知定点F（3，0）和动点P（x，y），H为PF的中点，O为坐标原点，且满足
．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）过点F作直线与点P的轨迹交于A，B两点，点C（2，0）．连接AC，BC与直线
分别交于点M，N．试证明：以MN为直径的圆恒过点F．

22．（12分）设函数
.

（1）求
的单调区间；

（2）令
，其图像上任意一点
处切线的斜率
恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：对于任意正整数，有

.

高三数学参考答案

题号

1

2

3

4

5

6



答案

D

D

A

C

B

C



题号

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

B

D

A

A





13．
14．65

15．
16．或-6

17．解：

（1）

………………………… （2分）

的最小正周期为

………

（2）

……………… （6分）

又

…………… （8分）

由余弦定理知：

………… （10分）

18．解：（1）
，
在
上的投影为

当P在线段FE（除点F）和线段ED（除点D）上运动时，

在
上的投影大于
，
在
上的投影大于
的

概率
。 ……………………………… （6分）

（2）结合图形可知只要选取的两个点不是相邻的，那么这两点的距

离一定是大于等于
。

六个点中随机选取两个点,总共有15种：（A,B),(A,C),(A,D),(A,E),

(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)

…………………………………… （12分）

19．解：（1）证明：连接
与
交于点O，连接OD，

又△ABC为等边三角形

为
中点

平行四边形
中O是
的中点

…………… （6分）

（2）设点A到平面BDC1的距离为d

等于点C到平面BDC1的距离

过点C作
垂足为E

则CE点C到平面BDC1的距离

，

……………………（12分）

20．解：（1）当
时，
，

当
时，
不满足上式

……………………（6分）

（2）

……………………（12分）

21．解：（1）如图取
连接

由双曲线定义知，点P的轨迹是以

为焦点的双曲线的右支

的轨迹方程为：
……………………（5分）

（2）设
，

直线
方程为

联立
整理得：

……………………（6分）

三点共线

同理

………………………（8分）

即

为直径的圆恒过点……………………（12分）

22．解：

（1）
的定义域是

……………………（1分）

（舍去）

的单调递增区间是

单调递减区间是
……………………（3分）

（2）

恒成立

即

令
，有
在
单调递减

……………………（7分）

（3）由（1）知，
在
上单调递减

在
上单调递增

……

以上个式子相加，

即

……………………（12分）