雅安市高中2015级第三次诊断性考试

数学试题(理科)

（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷 （选择题，50分）

一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合
，
,则

A.
B.
C.
D.

2. 已知向量
＝(1,2)，
＝(x，－4)，若
∥
，则

A．4 B．－4 C．2 D．

3. 设a,b∈R,则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 设α为锐角，若cos
＝，则sin
的值为

A．
B．

C.
D．

5. 执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是

A. 1 B. 2 C. 4 D. 7

6. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A.
B.
C.
D.

7. 已知直线
：
与圆
:
交于

两点且
，则

A.2 B.
C.
D.

8. 若实数a，b满足a2＋b2≤1，则关于x的方程x2－2x＋a＋b＝0有实数根的概率是

A.
B．
C．
D．

9.过抛物线
的焦点作直线
交抛物线于A,B两点，分别过A,B作抛物线的切线
,则
与
的交点P的轨迹方程是（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数
满足
，且对
,有
则

A. 2014 B. 2015 C. 2016 D. 2017

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）

11. 已知(1＋2i) z＝3－i(i为虚数单位)，则复数z =

12. 在二项式
的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 .

13. 若函数
有零点，但不能用二分法求其零点，则
的值______

14．曲线y＝2sincos与直线y＝在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|＝________

15. 以下命题，错误的是_________（写出全部错误命题）

①若
没有极值点，则

②
在区间
上单调，则

③若函数
有两个零点，则

④已知

三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

16．（本题满分12分）

已知向量
＝(2sin x，cos x)，
＝(－sin x,2sin x)，函数f(x)＝
·

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)＝1，c＝1，ab＝2，

且a>b，求a，b的值．

17. （本题满分12分）

雅安市某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．

（1）求直方图中
的值；

（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；

（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

18. （本题满分12分）

如图1在
中，
，D、E分别为线段AB 、AC的中点，
．以
为折痕，将
折起到图2的位置，使平面
平面
，连接
，设F是线段
上的动点，满足
．

（1）证明：平面
；

（2）若二面角
的大小为
，求
的值．

19.（本小题满分12分）

已知数列
的前项
和为
，点
均在函数
的图象上。

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
是数列
的前
项和，求使得
对所有
都成立的实数
的范围

20. (本小题满分13分)

已知椭圆
的离心率
，直线
与椭圆交于
两点，
为椭圆的右顶点,

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆上存在两点
使
，求
面积的最大值。

21. （本题满分14分））

已知
，其中
均为实数，

（1）求
的极值；

（2）设
，求证对
恒成立；

（3）设
，若对
给定的
，在区间
上总存在
使得

成立，求m的取值范围。

雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案及评分意见

一、1.C 2.D 3.A 4.B 5.C 6.A 7.B 8.A 9.A 10.C

二、11.
12. -1 13. 2或-1 14.
15. ①②③

16.解:　

(1)f(x)＝－2sin2x＋2sin xcos x

＝－1＋cos 2x＋2sin xcos x

＝sin 2x＋cos 2x－1＝2sin(2x＋)－1 …………………………3分

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

∴f(x)的单调增区间是(k∈Z)．…………………………6分

(2)∵f(C)＝2sin(2C＋)－1＝1，

∴sin(2C＋)＝1，

∵C是三角形的内角，∴2C＋＝，即C＝ …………………………8分

∴cos C＝＝，即a2＋b2＝7.

将ab＝2代入可得a2＋＝7，解得a2＝3或4.

∴a＝或2，∴b＝2或.

∵a>b，∴a＝2，b＝ ……………………………12分.

17. 解:

（1）由直方图可得：

．

所以
． ………………………………3分

（2）新生上学所需时间不少于
小时的频率为：

，

因为
，

所以1200名新生中有
名学生可以申请住宿． ………………………………9分

（3）
的可能取值为

由直方图可知，每位学生上学所需时间少于
分钟的概率为
，

,
,

,
,

． ………………………………10分

所以
的分布列为：

0

1

2

3

4


















．（或
）

所以
的数学期望为
． ………………………………12分

18.解:

（1）
平面
平面
,

∴
平面
∴

∴
………………………………2分

在直角三角形
中，

∴
得
∴
，又

∴
………………………………6分

（2）作

设BE交DC于O点，连OF，

由（1）知，
为二面角F－BE－C的平面角 …………………7分

由
∴

，∴

在
…………10分

得，
………………………………12分

方法2：
，设BE交DC于O点，连OF，

则
为二面角F－BE－C的平面角 ………………………………7分

又
∴

由
得
………………………………8分

在直角三角形
中
，
∴

由
得
从而得，
………12分

方法3：（向量法酌情给分）

以D为坐标原点DB，DE，D
分别为OX，OY，OZ轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别为D（0，0，0），
（0，0，2），B（2，0，0），

C（2，
，0），E（0，
，0）.

（1）

∵
∴

∵
∴

又
，∴
平面

又
平面

所以平面

平面
…………………………………6分

（2）设

设平面BEF的法向量为

，

取
…………………………………8分

又
平面BEC的法向量为

∴
得

解得
，又∵
∴
……………12分

19. 解：

（1）
点
在函数
的图象上，

当
时，
…………………………2分

当
时，

…………………………5分

当
时，
符合

…………………………6分

（2）

……………………………10分

＜

又
对所有
都成立

故
………………………………12分

20. 解：

（1）根据题意，不妨设
,
,

………………………………1分

………………………………2分

联立①②③④解得：

椭圆的方程为：
………………………………6分

（2）设
，
中点为
，

………………………………7分

在椭圆上，则
相减可得

直线EF的方程为：

即
代入
整理得：

，
………………………………9分

原点
到直线
的距离为
………………………………11分

………………………………12分

当
时等号成立，所以
得最大值为
。…………………………13分

21. 解：

（1）
极大值
，无极小值； ………………………………4分

（2）
，

,在
上 是增函数

,在
上是增函数

设
，则原不等式转化为

即
…………………………………6分

令

在
恒成立

，即所证不等式成立 ……………………………………9分

(3）由(1）得

所以，

又
不符合题意

当
时，要
，

那么由题意知
的极值点必在区间
内，即

得
，且函数
在

由题意得
在
上的值域包含于
在
上的值域

内，

下面证
时，
，取
，先证

令
内恒成立

再证
………………… 14分

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