南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）

数 学 试 卷（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．

祝各位考生考试顺利！

第 Ⅰ 卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．

参考公式：

·如果事件A，B互斥，那么 ·如果事件A，B相互独立，那么

P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A)?P(B)．

·棱柱的体积公式V柱体=Sh， ·球的体积公式V球=
?R3，

其中S表示棱柱的底面积， 其中R表示球的半径．

h表示棱柱的高．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）设i是虚数单位，则复数
=（ ）．

（A）6–5i （B）6+5i　

（C）–6+5i （D）–6–5i

（2）已知命题p：?x1，x2∈R，(f(x2)–f(x1))(x2–x1)≥0，则?p是（ ）．

（A）?x1，x2∈R，(f(x2)–f(x1))(x2–x1)≤0

（B）?x1，x2∈R，(f(x2)–f(x1))(x2–x1)≤0

（C）?x1，x2∈R，(f(x2)–f(x1))(x2–x1)＜0

（D）?x1，x2∈R，(f(x2)–f(x1))(x2–x1)＜0

（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）．

（A）10 （B）11

（C）12 （D）13

（4）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（ ）．

（A）k＜132? （B）k＜70?

（C）k＜64? （D）k＜63?

（5）已知双曲线C：
–
=1的焦距为10，点P (2，1)在C的渐近线上，则C的方程为（ ）．

（A）
–
=1 （B）
–
=1

（C）
–
=1 （D）
–
=1

（6）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b=5c，C=2B，则cosC=（ ）．

（A）
　 （B）
　　　

（C）
　　　 （D）

（7）由曲线y=x2，y=
围成的封闭图形的面积为（ ）．

　（A）
（B）

（C）
（D）1

（8）在△ABC中，若|
+
|=|
–
|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则
?
=（ ）．

　（A）
（B）

（C）
（D）

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）

答 题 纸（理工类）

题 号

二

 三

总分







(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)





得 分



















第 Ⅱ 卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；

2．本卷共12小题，共110分．

得 分

评卷人

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。











（9）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x–1|≤2}，则A∩B= ．

（10）(x2–
)6的展开式中x3的系数为______．

（11）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3．

（12）已知圆的极坐标方程为?=4cos?，圆心为C，点P的极坐标为(4，
)，则|CP|= ．

（13）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交

直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD=AB=2，

则EB= ．

（14）已知函数f(x)=
，若有三个不同的实数a，b，c，使得f(a)=f(b)=f(c)，则a+b+c的取值范围为 ．

三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

得 分

评卷人

（15）（本小题满分13分）











已知函数f(x)=–
sin(2x+
)+6sinxcosx–2cos2x+1，x∈R．

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求f(x)在区间[0，
]上的最大值和最小值．

得 分

评卷人

（16）（本小题满分13分）











某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：

奖级

摸出红.蓝球个数

获奖金额



一等奖

3红1蓝

200元



二等奖

3红0蓝

50元



三等奖

2红1蓝

10元



其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．

（Ⅰ）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；

（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X )．

得 分

评卷人

（17）（本小题满分13分）











如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．若M，N分别为棱PD，PC上的点，O为AC的中点，且AC=2OM=2ON．

（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PCD；

（Ⅱ）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；

（Ⅲ）求点N到平面ACM的距离．

得 分

评卷人

（18）（本小题满分13分）











已知椭圆C：
（a＞b＞0），其中e=
，焦距为2，过点M(4，0)的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为
，且
=?
．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）求实数?的值．

得 分

评卷人

（19）（本小题满分14分）











在等比数列{an}中，已知a1=2，且a2，a1+a3，a4成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；

（Ⅱ）设数列{an2–an}的前n项和为Sn，记bn=
，求证：数列{bn}的前n项和Tn＜
；

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）

数学试卷（理工类）参考答案

一、选择题：

题 号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答 案

 D

 C

 C

 B

 A

 A

 B

 B



二、填空题：

（9）(–
，3]； （10）–20； （11）18+9?；

（12）
； （13）
； （14）(2?，2016?)

三、解答题：（其他正确解法请比照给分）

（15）解：（Ⅰ）f(x)=–
sin2xcos
–
cos2xsin
+3sin2x–cos2x

=2sin2x–2cos2x=2
sin(2x–
)． …………6分

所以，f(x)的最小正周期T=
=?． …………7分

（Ⅱ）因为f(x)在区间[0，
]上是增函数，在区间[
，
]上是减函数．

又f(0)=–2，f(
)=2
，f(
)=2，

故函数f(x)在区间[0，
]上的最大值为2
，最小值为=–2．………13分

（16）解：设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai（i=0，1，2，3）与Bj（j=0，1）相互独立．

（Ⅰ）恰好摸到1个红球的概率为P(A1)=
=
． …………4分

（Ⅱ）X的所有可能值为：0，10，50，200，

P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)=
?
=
，

P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)=
?
=
，

P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)=
?
=
=
，

P(X=0)=1–
–
–
=
． …………11分

X

0

10

50

200



P











所以X的分布列为

?????????????

?????????????

?????????所以X的数学期望E(X)=0×
+10×
+50×
+200×
=4．…………13分

（17）解：（Ⅰ）依题设知，AC=2OM，则AM⊥MC．

又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，

所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，

所以AM⊥平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD． …………4分

（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，P(0，0，4)，B(2，0，0)，

C(2，4，0)，D(0，4，0)，M(0，2，2)；

设平面ACM的一个法向量n=(x，y，z)，

由n⊥
，n⊥
可得：
，

令z=1，则n=(2，–1，1)．

设所求角为?，则
． …………9分

（Ⅲ）由条件可得，AN⊥NC．

设
=?
=(2?，4?，–4?)，则
=
+
=(2?，4?，4–4?)，

所以
?
=(2?，4?，4–4?)?(2，4，–4)=36?–16=0

解得?=
，所以
=(
，
，
)，

设点N到平面ACM距离为h，则h=
=
． …………13分

（18）解：（Ⅰ）由条件可知，c=1，a=2，故b2=a2–c2=3，

椭圆的标准方程是
． …………4分

（Ⅱ）由
=?
，可知A，B，M三点共线，

设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．

若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意． …………5分

当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k(x–4)．

由
消去y得，(3+4k2)x2–32k2x+64k2–12=0．① …………7分

由①的判别式△=322k4–4(4k2+3)(64k2–12)=144(1–4k2)＞0，解得k2＜
，

x1+x2=
，x1x2=
． …………9分

由
=
=
，可得k2=
，即有k=
． …………10分

将k2=
代入方程①，得7x2–8x–8=0，

则x1=
，x2=
． …………11分

又因为
=(4–x1，–y1)，
=(x2–4，y2)，
=?
，

所以?=
=
． …………13分

（19）解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由已知得：2(a1+a3)=a2+a4，

即2(a1+a1q2)=a1q+a1q3，解得q=2，

又∵a1=2，

∴an=a1qn–1=2n； …………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：Sn=(a12+a22+a32+…+an2)–(a1+a2+a3+…+an)

=(4+42+43+…+4n)–(2+22+23+…+2n)

=
–
=
(2n–1)(2n+1–1) …………9分

∴bn=
=
(
–
) …………11分

∴Tn=
(
–
+
–
+
–
+…+
–

+
–
)

=
(1–
)＜
． …………14分

（20）解：（Ⅰ）由f?(x)=
–a≤0即
≤a对x∈(1，+∞)恒成立，∴
．

而由x∈(1，+∞)知
＜1，∴a≥1．

由g?(x)=ex–a令g?(x)=0则x=lna

当x＜lna时，g?(x)＜0，g(x)在(–∞，lna)单调递减，

当x＞lna时，g?(x)＞0，g(x)在(lna，+∞)单调递增，

∵g(x)在(1，+∞)上有最小值，

∴lna＞1，∴a＞e．

综上所述：a的取值范围为(e，+∞)． …………4分

（Ⅱ）∵g(x)在(–1，+∞)上是单调增函数，

∴g?(x)=ex–a≥0即a≤ex对x∈(–1，+∞)恒成立，

∴a≤(ex)min，而当x∈(–1，+∞)时，ex＞
，∴a≤
． …………6分

f(x)的零点个数?f(x)=lnx–ax=0的根的个数? a=
的根的个数，

设h(x)=
，则h?(x)=
，

当x＞e时，h?(x)＜0，h(x)在(e，+∞)单调递减，且h(x)＞0，

当x＜e时，h?(x)＞0，h(x)在(0，e)单调递增，

且当x趋向于0时，h(x)趋向于–∞，

∴h(x)≤h(e)=
，

∴当a≤0或a=
时，f(x)的零点个数为1；

当0＜a＜
时，f(x)的零点个数为2． …………9分

（Ⅲ）证明：设?(x)=
，则??(x)=
，

当x＞1时，??(x)＜0，?(x)在(1，+∞)单调递减，且?(x)＞0，

当x＜1时，??(x)＞0，?(x)在(–∞，1)单调递增，

∴?(x)≤?(1)=
，

由题意可知
＜
，有?(x1)=?(x2)，即a＞e时，g(x)有两个零点x1，x2．

设?(x)=?(2–x)=(2–x)ex–2，下证当x＞1时，?(x)＜?(x)．

设F(x)=?(x)–?(x)=
–(2–x)ex–2（x＞1），

∵F?(x)=
+xex–2+(x–2)ex–2=(x–1)(2ex–2 –
)＞0，

∴F(x)在(1，+∞)单调递增，

∴F(x)＞F(1)=0，即?(x)＜?(x)．

不妨设x1＜1＜x2，可知?(x2)＜?(x2)，则?(x2)=?(2–x2)，

所以?(2–x2)＜?(x2)，

从而?(x1)＞?(2–x2).因为x2＞1，所以2–x2＜1，

又∵函数?(x)在区间(–∞，1)单调递增，

所以x1＞2–x2，即x1+x2＞2． …………14分

得 分

评卷人

（20）（本小题满分14分）











设函数f(x)=lnx–ax，g(x)=ex–ax，其中a为实数．

（Ⅰ）若f(x)在(1，+∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，+∞)上有最小值，求a的取值范围；

（Ⅱ）若g(x)在(–1，