宿州市2015届高三第一次教学质量检测数学（理科）参考答案

一、选择题：每小题5分，满分50分．

（1）C （2）D （3）B （4）D （5）A

（6）C （7）A （8）B （9）B （10）A

二、填空题：每小题5分，满分25分．

(11) 14 (12) 32 (13)
( 14)
(15) ②③④⑤

三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

(16)（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
…………2分

…………4分

可知
的最小正周期为
且
，从而有
，故
． …………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，所以
．

因为
，所以
， …………8分

又
，所以
， 得
， …………10分

所以
，从而有
，

即
的值域为
． …………12分

(17)（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）一次摸奖从
个球中任取两个，有
种方法．

其中两个球的颜色不同的取法有
种， …………2分

所以一次摸奖中奖的概率为
． …………4分

（Ⅱ）若
，即
，解得
或
（舍去）．

由题知：记上号的红球有
个．

可能取值为0,1,2,3,4． …………6分

，
，

，
，

．

从而
的分布列是：




























． …………12分

(18)（本小题满分12分）

综合法：（Ⅰ）证明：取
的中点，连接
，
，

因为
分别是
、
的中点，

所以
，又因为
．

所以
，

即四边形
为平行四边形．

所以
，
不在平面
内，

所以
平面
． …………4分

（Ⅱ）解：取
的中点，即为所求点
，

连接
，
．

因为
，故
，所以四点
共面．

平面
与
交点
即为
的四等分点，又因为
，所以
． …………8分

（Ⅲ）解：连接
，易证平面
底面
．

平面
与平面
所成二面角即为平面
与底面
所成二面角．

因为
平面
，故
平面
，过作
，垂足为，连结
，

则
，所以
为平面
与平面
所成二面角的平面角．

在直角三角形
中，则
，
，
，从而
，

所以
，故

．

所以平面
与底面
所成二面角的大小为
． …………12分

向量法：如图，以为坐标原点，
、
、
方向分别为轴、轴和轴的正方向建立空间直角坐标系．则
，
，
，

，
，
．

（Ⅰ）证明：易知
是平面
的法向量，又因为
，

所以
，又因为
不在平面
内，所以
平面
． …………4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
平面
，又
在平面
内，

平面
与平面
的交线是
，所以

．

设
，
，得
，

解得
，所以
． …………8分

（Ⅲ）解：设平面
的法向量
．

由
取
…………10分

又知平面
的法向量为

所以

即平面
与底面
所成二面角的大小为
． …………12分

(19)（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由
，得
．

由题意得
，
．

解得
． …………4分

（Ⅱ）由
，
．

（1）当
时，
．

①若
，当
时，
，所以
在
内单调递减． …………6分

②若
，当
时，
；当
时，
．

所以
在
内单调递减，在
内单调递增 …………8分

（ 2）当
时，令
，得
，

因为
，解得
，（
）

当
时，
；当
时，
．

所以
在
内单调递减，在
内单调递增．

综上所述：

当
，
时，
在
单调递减；

当
，
时，
在
内单调递减，在
内单调递增；

当
时，
在
内单调递减，在
内单调递增．

…………13分

(20)（本小题满分13分）

(Ⅰ) 解：由题知：
，又因为
的周长为
，所以
，

解得
．

所以椭圆的方程为
． …………4分

（II）（1）证法一：

由
消去并整理得
，

又因为
，即
，

得
，解得
，因此直线
与椭圆只有一个交点． …………8分

证法二：因为点在第一象限内，由
．

过点与椭圆
相切的直线斜率
．

因此直线
与椭圆相切，故直线
与椭圆只有一个交点． …………8分

（2）解：令
得
，即
，

令
得
，即
．

所以
的中点为
，
．

故以
为直径的圆方程为
． …………10分

又因为
，上式化简得
．

令
，得
或
．

故
为直径的圆恒过点
和
． …………13分

(21)（本小题满分13分）

证明：（Ⅰ）因为
，所以
，

当
时，
．

所以，对一切
，都有
． …………3分

因为
，

所以数列
单调递减． …………6分

（Ⅱ）因为
，由（Ⅰ）中可知
． …………8分

下面用数学归纳法证明

①当
时，
显然成立．

②假设
（
）时，命题成立，即
成立

那么当
时，

有

所以当
时，上述命题也成立

综合①②可得对于任意
，有
．

因此，
． …………13分