第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．若集合
，
，那么
( )

A．
B．
C．
D．

2．设是实数，若复数
（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线
上，则的值为( )

A．
B．0 C．1 D．2

3.已知m，n是两条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

A.若
B.若

C.若
D.若

4.将函数
的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位，所得图像的一条对称轴方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

5．定义在上的奇函数
满足
，当
时，
，则
在区间
内是（ ）

A．减函数且
B．减函数且
C．增函数且
D．增函数且

6．下列说法中，正确的个数是（ ）

（1）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.

（2）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变.

（3）对于命题

则

.

（4）命题“在
中，若
则
为等腰三角形”的否命题为真命题.

A. 4 B. 3 C .2 D. 1

7．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果
，那么抛物线C的方程为( )

A.
B.
C.
D.

8．若从区间
内随机取两个数，则这两个数之积不小于的概率为（ ）

A．
B.
C.
D.

9．阅读如图所示的程序框图,若输入的值为二项

式
展开式的常数项,则输出的
值是（ ）

A．
B．
C． D．

10．若函数
在
上单调递增，

那么的取值范围是（　 ）

A．
B．

C．
D．

11．已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，

过
作圆
的切线分别交双曲线的左、右两支于

点、，且
，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．
B．

C．
D．

12．某几何体三视图如图 (单位：cm)，

则该几何体的外接球表面积是（　　）

　A．

B．

C．

D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知向量
满足
，且
，则与
的夹角为 ；

14．在小语种自主招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中韩语2名，日语2名，俄语1名．

并且日语和韩语都要求必须有女生参加．学校通过选拔定下3女2男共5个推荐对象，

则不同的推荐方法共有 种；

15.过
的光线经轴上点
反射后，经过不等式组
所表示的区域，则
的取值范围 ；

16．数列
中，
，
，
是
的个位数字，
是
的前项和，则
．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

18．(本题满分12分)

为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：

甲：8.3, 9.0, 7.9, 7.8, 9.4, 8.9, 8.4, 8.3

乙：9.2, 9.5, 8.0, 7.5, 8.2, 8.1, 9.0, 8.5

(Ⅰ)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；并简要说明选派哪一位选手参加奥运会封闭集训更合理？

(Ⅱ)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)．

19．(本题满分12分)．

如图（1），在边长为2的正方形
中，是边
的中点.将
沿
折起使得平面
平面
，如图（2），是折叠后
的中点.

（Ⅰ）求证：

平面
；

（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值.

20．（本小题满分12分）

如图，圆与轴相切于点
，与轴正半轴相交于两点
（点
在点的左侧），且
．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）过点
任作一条直线与椭圆
相交于两点

，连接
，求证：
．

21．(本题满分12分)

已知函数
，
，令
。

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）若关于的不等式
恒成立，求整数的最小值；

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．(本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲

如图所示，已知
与⊙
相切，为切点，过点的割线交圆于
两点，弦
，
相交于点，为
上一点，且
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求
的长．

23．(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点
为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线
的参数方程为
(为参数，
)，曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线
与曲线
相交于、两点，当变化时，求
的最小值．

24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若二次函数
与函数
的图象恒有公共点，求实数的取值范围.

2015届高三理科数学复习试题参考答案

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：

时,

由正弦函数图象可知,当
时
取得最大值

所以
,
…………8分

由余弦定理，
∴
∴
………10分

从而
………12分

18 . 解： (1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图：

---------------3分

(2)因为甲＝乙＝8.5，又s＝0.27，s＝0.405，

得s＜s，相对来讲，甲的成绩更加稳定，所以选派甲合适．-----------6分

(3)依题意得乙不低于8.5分的频率为，ξ的可能取值为0,1,2,3，则ξ～B(3，)．

所以P(ξ＝k)＝C()3－k(1－)k＝C()3，-------------------------9分

k＝0,1,2,3.

所以ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3



P











∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.--------------------------------12分

19．【解析】(Ⅰ) 证明：取AD中点G，连结EG，FG，

∵F为AC中点，

∴

∴
，从而四边形EBFG是平行四边形…………………3分

∴BF//EG

又
平面ADE，
平面ADE

∴EG//平面ADE．……………………………………5分

(Ⅱ) 如图示以E为坐标原点，建立空间直角坐标系

则A
，B（1，0，0），D（
，2，0）

设平面EAB的法向量为

则

解得一个法向量为
……………………………………8分

设平面ABD的法向量为

则

解得一个法向量为
……………………………………10分

二面角E-AB-D的平面角的余弦值
.…………………………12分

20．【解析】（Ⅰ）设圆的半径为（
），依题意，圆心坐标为
．… 1分

∵　

∴　
，解得
． 3分

∴　圆的方程为
． 5分

（Ⅱ）把
代入方程
，解得
，或
，

即点
，
． 6分

（1）当
轴时，由椭圆对称性可知
． 7分

（2）当
与轴不垂直时，可设直线
的方程为
．

联立方程
，消去得，
． 8分

设直线
交椭圆于
两点，则

，
． 9分

∵　
，

∴　

． 10分

∵
，

11分

∴　
，
．

综上所述，
． 12分

21．【解析】解：⑴

……………………2分

由
得
又
所以
．所以
的单增区间为
. ………4分

（2）方法一：令

所以
．………………………6分

当
时，因为
，所以
所以
在
上是递增函数，

又因为

所以关于的不等式
不能恒成立． ………………………8分

当
时，
．

令
得
，所以当
时，
当
时，
．

因此函数
在
是增函数，在
是减函数．

故函数
的最大值为
…………10分

令
因为

又因为
在
上是减函数，所以当
时，
．

所以整数的最小值为2． ……………12分

方法二：⑵由
恒成立，得
在
上恒成立．

问题等价于
在
上恒成立．

令
，只要
． ……………………6分

因为
令
得
．

设
，因为
，所以
在
上单调递减，………………8分

不妨设
的根为
．当
时，
当
时，
．

所以
在
上是增函数；在
上是减函数．

所以
． …………………10分

因为

所以
此时
所以
即整数的最小值为2 …… 12分

22．【解析】（Ⅰ）∵
,

∴
∽
,∴
……………………………………3分

又∵
,∴
, ∴
,

∴
∽
， ∴
， ∴

又∵
，∴
． ………………………………5分

（Ⅱ）∵
,

∴
，∵
∴

由（1）可知：
，解得
. …………………………7分

∴
． ∵
是⊙
的切线，∴

∴
，解得
． ……………………………………10分

23．【解析】（Ⅰ）由
，得

所以曲线C的直角坐标方程为
.……………………5分

（Ⅱ）将直线
的参数方程代入
，得
.

设、两点对应的参数分别为
、
，则
，
，

∴

，

当
时，
的最小值为4. ……………………10分

24.解：（1）当
时，
，……………3分

由
易得不等式的解集为
；……………5分

（2）由二次函数
，该函数在
取得最小值2，

因为
在
处取得最大值
，……………7分

所以要使二次函数
与函数
的图象恒有公共点，

只需
，即
。……………