益阳市2015届高三四月调研考试数学（文史类）

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.

时量120分钟，满分150分.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知i为虚数单位，复数

对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 已知集合

A.
B.
C.
D.

3. 命题“若
，则
”的否命题是

A．若
，则
B．若
， 则

C．若
，则
D．若
，则

4. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为
，它的长轴长等于圆
的半径，则椭圆的标准方程是

A．
B.

C.
D.

5. 当
时，执行如右图所示的程序框图，

输出的
值为

A. 30 B.14

C. 8 D. 6

6. 设


，则
的大小关系是

A．
B．
C．
D．

7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．
B．

C．
D.

8. 不等式组
围成的区域为，能够把区域的周长和面积同时分为相等两部分的曲线为

A．
B．

C．
D．

9. 已知函数
，若
恒成立，则的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在△
中，
分别是
的中点，若
（
），且点落在四边形
内（含边界），则
的取值范围是

A．
B．

C.
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

11. 在某市2015年“创建省文明卫生城市”知识竞赛中 ，

考评组从中抽取
份试卷进行分析，其分数的频率分

布直方图如右图所示，则分数在区间
上的人数大

约有 人.

12. 如图所示，矩形长为3，宽为2，在矩形内随机撒200颗

黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为160颗，依据此实验数

据可以估计出椭圆的面积约为 .

13. 在极坐标系中，点A（2，
）与曲线
上的点的最短距离为 .

14. 将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象,若
的图象的对称轴重合，则的值为 .

15. 点
在直线
上，记
，若使取得最小值的点有无数个，则实数
的取值是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分12分)

等差数列
满足：
，
，其中
为数列
前n项和．

(Ⅰ)求数列
通项公式；

(Ⅱ)若
，且
，
，
成等比数列，求
的值．

17. (本小题满分12分)

某城市持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，为此该城市实施了机动车尾号限行政策。现有家报社想调查了解该市区公民对“车辆限行”的态度，在该城市里随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄（岁）

[15，25）

[25，35）

[35，45）

[45，55）

[55，65）

[65，75]



频 数

2

4

20

14

5

5



支持的人数

1

3

15

11

4

4



(Ⅰ)请估计该市公民对“车辆限行”的支持率（答案用百分比表示）；

(Ⅱ)若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中采用分层抽样选取3人进行跟踪调查，求选取的3人中有2人不支持“车辆限行”的概率.

18. (本小题满分12分)

已知在△ABC中，三条边、
、所对的角分别为A、B、C，向量
，
，且满足
.

(Ⅰ)求角
的大小；

(Ⅱ)若
成等比数列，且
，

求边的值并求△ABC外接圆的面积.

19.(本小题满分13分)

如图,四棱锥
,侧面
是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面
是
的菱形,
为
的中点.

(Ⅰ) 求证:
；

(Ⅱ) 在棱
上是否存在一点
,使得
四点共面?

若存在,指出点
的位置并证明；若不存在,请说明理由；

(Ⅲ) 求点到平面
的距离.

20．（本小题满分13分）

已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上横坐标为1的点到的距离为2 ，过点F的直线交抛物线于A，B两点．

(Ⅰ)求抛物线的方程；

(Ⅱ)若
，求直线AB的斜率；

(Ⅲ)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的

对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

21. (本小题满分13分)

已知函数
，其图象记为曲线C .

(Ⅰ)若
在
处取得极值为
，求
的值；

(Ⅱ)若
有三个不同的零点，分别为
，且
，过点
作曲线C的切线，切点为A
（点A异于点
）.

①证明：
；

②若三个零点均属于区间
，求
的取值范围.

益阳市2015届高三四月调研考试

数学参考答案（文史类）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

C

A

B

B

D

C

D

C





二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.

11. 80 12. 4.8 13. 1 14. 15. -1或1

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分12分)

等差数列
足：
，
，其中
为数列
前n项和．

(Ⅰ)求数列
通项公式；

(Ⅱ)若
，
，
成等比数列，求
值．

解：（1）由条件，
； ……6分

（2）
， ∵
．……12分

17. (本小题满分12分)

某城市持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，为此该城市实施了机动车尾号限行政策。现有家报社想调查了解该市区公民对“车辆限行”的态度，并在该城市里随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄（岁）

[15，25）

[25，35）

[35，45）

[45，55）

[55，65）

[65，75]



频 数

2

4

20

14

5

5



支持的人数

1

3

15

11

4

4



(Ⅰ)请估计该市公民对“车辆限行”的支持率（答案用百分比表示）；

(Ⅱ)若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中采用分层抽样选取3人进行跟踪调查，求选取的3人中有2人不支持“车辆限行”的概率。

解（1）由表中可得支持率是
，可以估计该市公民对“车辆限行”的支持率是76%。

………5分

（2）在[15，25），[25，35）的被调查者中的六人编号：

把[15，25）中的两人编号：1号为不支持，2号为支持；

把[25，35）中的四人编号：3号为支持，4号为支持，5号为支持，6号为不支持。

利用分层抽样则应该在[15，25）、[25，35）分别抽取1人、2人，则所有可能如下：

（1，3，4），（1，3，5），（1，3，6），（1，4，5），（1，4，6），（1，5，6）

（2，3，4），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），（2，5，6）

以上共有12种情形，其中有2人不支持的有3种情形，

所以选取的3人中有2人不支持“车辆限行”的概率为
. ………12分

18. (本小题满分12分)

已知在△ABC中，三条边、
、所对的角分别为A、B、C，向量
，
，且满足
.

(Ⅰ)求角
的大小；

(Ⅱ)若
成等比数列，且
，

求边的值并求△ABC外接圆的面积.

解：（1）

. ………5分

（2）sinA,sinC, sinB成等比数列,
. ………7分

,
. ………10分

设外接圆的半径为，由正弦定理可知：

. ………12分

19.(本小题满分13分)

如图,四棱锥
,侧面
是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面
是
的菱形,
为
的中点.

(Ⅰ) 求证:
；

(Ⅱ) 在棱
上是否存在一点
,使得
四点共面?若存在,指出点
的位置并证明；若不存在,请说明理由；

(Ⅲ) 求点到平面
的距离.

解(Ⅰ)方法一:取
中点
,连结
,依题意可知

△
,△
均为正三角形,

所以
,
,

又
,
平面
,
平面
,

所以
平面
,又
平面
,

所以
. ………4分

方法二:连结
、
,依题意可知△
,△
均为边长为正三角形,

又
为
的中点,所以
,
,

又
,
平面
,
平面
,

所以
平面
,

又
平面
,所以
. ………4分

(Ⅱ)当点
为棱
的中点时,
四点共面, ………6分

证明如下:

取棱
的中点
,连结
,
,又
为
的中点,

所以
,在菱形
中
,所以
,

所以
四点共面. ………9分

(Ⅲ)点到平面
的距离即点到平面
的距离,

由(Ⅰ)可知
,又平面
平面
,平面
平面