吉林省实验中学2015届高三年级第五次模拟考试

数 学 试 题（理科）

命题人：高三备课组 审题人：迟禹才 2015年5月28日

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）在复平面内，复数
的共轭复数的虚部为

（A）
（B）
（C）
i （D）
i

（3）执行如图所示的程序框图，输出的T＝

（A）29 （B）44 （C）52 （D）62

（4）已知点
，
，
，
，则向量
在

方向上的投影为

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝
，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}前n项和的最大值等于

（A）126 （B）130 （C）132 （D）134

（6）设曲线
在点
处的切线与直线
平行，则实数
等于

（A）－1 （B） （C）－2 （D）2

（7）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）设x、y满足
则

（A）有最小值2，最大值3 （B）有最大值3，无最大值

（C）有最小值2，无最大值 （D）既无最小值，也无最大值

（9）将5名同学分到甲、乙、丙三个小组，若甲组至少两人，乙、丙两组每组至少一人，

则不同的分配方案种数

（A）80种 （B）120种 （C）140种 （D）50种

（10）已知
，满足
，则

的最小值是

（A）
（B）
（C）
（D）

（11）直线l 交椭圆
于M、N两点，椭圆的上顶点为B点，若△BMN的重心

恰好落在椭圆的右焦点上, 则直线l的方程是

（A）
（B）

（C）
（D）

（12）已知函数
，当
时，则方程
的根最多个数是

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）设
，则
展开式的常数项为_________（用数字作答）．

（14）设抛物线
的顶点为
，与
轴正半轴的交点为
，抛物线与两坐标轴正

半轴围成的区域为
，随机往
内投一点，则点
落在△
内的概率是 ．

（15）若正三棱柱的底面边长为
，高为
，则此正三棱柱的外接球的体积为 ．

（16）点P为双曲线
的右支上任意一点，由P向两条渐近线作平行线交渐近线于M、N两点，若平行四边形OMPN面积为3，则双曲线的离心率为 　　　 ．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知
．

（Ⅰ）求证：a、b、c成等差数列；

（Ⅱ）若
，求b．

（18）（本小题满分12分）

为检测某种零件的生产质量，检验人员需抽取同批次的零件样本进行检测并评分．若检测后评分结果大于60分的零件为合格零件，评分结果不超过40分的零件将直接被淘汰，评分结果在
内的零件可能被修复也可能被淘汰．

（Ⅰ）已知200个合格零件的评分结果的频率分布直方图

如图所示．请根据此频率分布直方图，估计这200

个零件评分结果的平均数和众数；

（Ⅱ）根据已有的经验，可能被修复的零件个体被修复的概率如下表：

零件评分结果所在区间







每个零件个体被修复的概率







假设每个零件被修复与否相互独立．现有5个零件的评分结果为（单位：分）：38，43，

45，52，58，记这5个零件被修复的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

（19）（本小题满分12分）

在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，

，AB＝PB＝PC＝BC＝2CD，平面PBC⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；

（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小；

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆C：
过点
，离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设
分别为椭圆C的左、右焦点，过
的直线
与椭圆C交于不同两点
， 记△
的内切圆的面积为
，求当
取最大值时直线
的方程，并求出最大值．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
令
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）若关于
的不等式
恒成立，求整数
的最小值；

（Ⅲ）若
，正实数
满足
，证明：
．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知圆O的两弦AB和CD相交于点E，FG是圆O的切线，

G为切点，EF＝FG．

求证：（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
∥
．

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，设圆
：?＝4 cos? 与直线l：?＝ (?∈R)交于A，B两点．

（Ⅰ）求以AB为直径的圆
的极坐标方程；

（Ⅱ）在圆
任取一点
，在圆
上任取一点
，求
的最大值．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，解不等式
；

（Ⅱ）若
时，
，求
的取值范围．

吉林省实验中学2015届高三年级第五次模拟考试

数学（理）答案

选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



C

B

A

A

C

A

D

C

A

B

B

C



二、填空题：

（13）210 （14）
（15）
（16）

三、解答题:

（17）【解】

（Ⅰ）由正弦定理得：

即
　　

∴

即
　　　

∵

∴
即

∴
成等差数列。 　　　　

（Ⅱ）∵
∴
　　　

又
　　

由（Ⅰ）得：

∴
　　

（Ⅱ）
，由正弦定理得
，

∴
，
．

（18）【解】

（Ⅰ）∵
，

∴平均数
，众数为75．

（Ⅱ）由题意可知：评分结果在
，
内零件各有2个，则随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4．

，

，

，

，

，

X的分布列为：

X

0

1

2

3

4



P













∴

（19）【解】

（Ⅰ）证明：因为
，所以
，

因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC
平面ABCD＝BC，AB
平面ABCD，

所以AB⊥平面PBC．

（Ⅱ）如图，取BC的中点O，连接PO，因为PB=PC，所以PO⊥BC。因为PB=PC，所以PO⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD。以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O－xyz。

不妨设BC＝2。由AB＝PB＝PC＝BC＝2CD得，

，

所以
，

设平面PAD的法向量为
．

因为
，所以
．

令
，则
，所以
．

取平面BCP的一个法向量
，

所以
，

所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为
．

（20）【解】

（Ⅰ）由题意得
解得

椭圆C的标准方程为

（Ⅱ）设
，
的内切圆半径为
，则

所以要使
取最大值，只需
最大

设直线
的方程为

将
代入
可得
()

恒成立，方程()恒有解，

，记

在
上递减

当
，此时
．

21．【解】

（Ⅰ）

由
得
又
所以
．所以
的单增区间为
.

（Ⅱ）方法一：令

所以
．

当
时，因为
，所以
，所以
在
上是递增函数，

又因为
所以关于
的不等式
不能恒成立．

当
时，
．

令
得
，所以当
时，
；当
时，
．

因此函数
在
是增函数，在
是减函数．

故函数
的最大值为
…………8分

令
因为

又因为
在
上是减函数，所以当
时，
．

所以整数
的最小值为． ……………10分

方法二：（2）由
恒成立，得
在
上恒成立．

问题等价于
在
上恒成立．

令
，只要
． ……………………6分

因为
令
得
．

设
，因为
，所以
在
上单