龙岩一中2015届高考模拟试卷

数学（文科）

（考试时间：120分钟 满分：150分 ）

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求).

1. 已知全集
，集合
，
，如图阴影部分所表示的集合为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知
是虚数单位，复数
满足
，则复数
所对应的点位于复平面的(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．数列
为等差数列，满足
，则数列
前21 项的和等于（ ）

A．
　　 B．21 　 　C．42　　　　 D．84

4.设
在
上随机地取值,则关于
的方程
有实数根的概率为（　　）

A．
B．
C．
D．

5. 阅读右侧程序框图,为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（　　）

A．7 B．6 C．5 D．4

6.将函数
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（ ）

A.
B.
C.
D.

7.函数
的图象大致为（ ）

A. B. C. D.

8．一个四棱锥的三视图如右图所示，那么这个四棱锥的侧面积是（ ）

A．
B．

C．
D．

9. 已知
、
满足约束条件
,则
的取值范围为（　　）

A．
B．
C．
D．

10.已知
是
所在平面内一点,
为
边中点,且
,则有（　　）

A．
B．
C．
D．

11．设
是圆
：
上的点，圆
的圆心为
，半径为1，则
是圆
与圆
相切的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

12．在长方体
中，
，
，点
为
的中点，点
为对角线
上的动点，点
为底面
上的动点（点
，
可以重合），则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．1

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分).

13．设函数
， 则函数
的值域是___________

14．已知
，则
的最小值为_____________

15．抛物线
的焦点恰好是双曲线
：
的两焦点间线段的一个三等分点，则双曲线的渐近线方程为___________

16．已知函数
，若
存在唯一的零点
，且
＞0，则
的取值范围是___________

三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. （本小题满分12分）

设数列
的前
项和为
，且
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
为等差数列，且
，公差为
. 当
时，比较
与
的大小．

18. （本小题满分12分）

某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课. 为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间(单位：分钟)，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为
，
，
，
，
.

（Ⅰ）求频率分布直方图中
的值；

（Ⅱ）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；

（Ⅲ）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求恰有一个学生的单程时间落在
上的概率.

19. （本小题满分12分）

在
中，内角
的对边分别为
，
．

（Ⅰ）若
，
，求
和
；

（Ⅱ) 若
，且
的面积为2
，求
的大小．

20. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
，
平面
,
平面
，
，
，
.

（Ⅰ）求棱锥
的体积；

（Ⅱ）求证：平面

平面
；

（Ⅲ）在线段
上是否存在一点
,使
平面
？若存在,求出
的值；若不存在，说明理由.

21. （本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系
中，离心率为
的椭圆

的左顶点为
，过原点
的直线（与坐标轴不重合）与椭圆
交于
两点，直线
分别与
轴交于
两点．若直线
斜率为
时，
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ)试问以
为直径的圆是否经过定点（与直线
的斜率无关）？请证明你的结论．

22. （本小题满分14分）

已知函数
，其中
为实数.

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ) 当
时，若函数
对定义域内的任意
恒成立，求实数
的取值范围.

（Ⅲ）证明，对于任意的正整数
，不等式
恒成立.

龙岩一中2015届高考模拟试卷

文科数学卷

参考答案及评分标准

一、选择题(本大题共12小题，共60分)

题号

１

２

３

４

５

６

７

８

９

10

11

12



答案

B

A

B

C

C

D

A

D

B

B

D

C



二、填空题(本大题共4小题，共16分)

13．
14．
15．
16．

三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：因为
， 

所以当
时，
， 

由 两式相减，得
，

即

， ………………3分

因为当
时，
，

所以
， ………………4分

所以
………………6分

（Ⅱ）解：因为
， ………………8分

所以
，
， ………………10分

因为
， ………………11分

由
，得
，

所以当
时，
. ………………12分

18．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）时间分组为
的频率为

， 2分

∴
，

所以所求的频率直方图中
的值为
. 3分

（Ⅱ）100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：

4分

. 5分

因为
，

所以该校不需要推迟5分钟上课. 6分

（Ⅲ）依题意满足条件的单程所需时间在
中的有
人，不妨设为
，

单程所需时间在
中的有
人，不妨设为
， 7分

从单程所需时间不小于30分钟的5名学生中，随机抽取2人共有以下
种情况：

，
，
，
，
，
，
，

，
，
； 10分

其中恰有一个学生的单程所需时间落在
中的有以下6种：

，
，
，
，
，
； 11分

故恰有一个学生的单程所需时间落在
中的概率
. 12分

19. (本小题满分12分)

解：（Ⅰ）∵
，

∴

∵
∴
……………………………………………………3分

∵
∴
∴
………………5分

∴
…………………………………………………………………………6分

或：∵
∴
………………………1分

∴
∴
………………………………2分

∵
∴
∴
…………………………………………3分

∵
∴
……………………………………………………………4分

∵
∴ 在直角
中，
，
……………………………6分

（Ⅱ）由正弦定理：

∴
∴
∴
…………………………8分

∵
∴
∴
……………………………10分

∴
=
×8=12 ∴
=2
………………………………………………12分

20．(本小题满分12分)

（Ⅰ）解：在
中，
………………1分

因为
平面
，

所以棱锥
的体积为
.

………………4分

（Ⅱ）证明：因为
平面
，
平面
，

所以
. ………………5分

又因为
，
,

所以
平面
. ………………7分

又因为
平面
，

所以平面

平面
. …………………8分

（Ⅲ）结论：在线段
上存在一点
,且
，使
平面
.………………9分

解：设
为线段
上一点, 且
，

过点
作
交
于
，则
.

因为
平面
,
平面
，

所以
.

又因为

所以
，
,

所以四边形
是平行四边形，

则
. ………………11分

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
.