泉州一中2015届高考适应性训练

数学试题（理工类）（2015.5.23）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设全集
，集合
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2．已知复数z＝3+i(i为虚数单位)，则z的共轭复数
在复平面内对应的点位于 ( )．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设
都是非零向量，下列四个条件中，一定能使
成立的是 ( )

A.
B.
C.
D.

4．等比数列{an}中,a3=6,前三项和
,则公比q的值为 （ ）

A．1 B．
C．1或
D．
或

5. 下列四个命题中正确命题的是（ ）

A．学校抽取每个班级座号为21-30号的同学检查作业完成情况，这是分层抽样；

B．可以通过频率分布直方图中最高小矩形的高来估计这组数据的众数；

C．设随机变量
服从正态分布
，若
，则
；

D．在散点图中，回归直线至少经过一个点。

6．已知
，
，则“
”是“
在
上恒成立”的（ ）

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．执行如图所示的程序框图，如果输入
，
的值均为2，最后输出
的值为
，在区间
上随机选取一个数D，则
的概率为( )

A．
B．

C．
D．

8．正项等差数列
中的
、
是函数
的极值点,则
（ ）

A．
B．
C．
D．1

9. 过抛物线
的焦点
作倾斜角为
的直线交抛物线于
、
两点，过点
作抛物线的切线
交
轴于点
，过点
作切线
的垂线交
轴于点
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 定义：若对定义域D内的任意两个
，均有
成立，则称函数
是
上的“平缓函数”。则以下说法正确的有： （ ）

①
为
的“平缓函数”；②
为R上的“平缓函数”

③
是为R上的“平缓函数”；④已知函数
为R上的“平缓函数”，若数列
对
总有
。

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11. 若
展开式中含
的项的系数为 .

12.已知实数
满足约束条件
,则
的最大值为 .

13. 已知双曲线
的左、右焦点分别为
,以
为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为
.若
,则该双曲线的离心率为 .

14．已知函数
的部分图象如下图,其中

分别是
的角
所对的边,
,则
的面积
= .

15.已知单位向量
两两的夹角均为
，且
），若空间向量
满足
，则有序实数组
称为向量
在“仿射”坐标系O-xyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作
有下列命题：

①已知
，则
·
=0；

②已知
其中xyz≠0，则当且仅当x=y时，向量
，
的夹角取得最小值；

③已知

④已知
则三棱锥O—ABC的表面积
，其中真命题有 （写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分13分）

已知
分别在射线
(不含端点
)上运动,
,在
中,角
、
、
所对的边分别是
、
、
.

(Ⅰ)若
、
、
依次成等差数列,且公差为2.求
的值;

(Ⅱ)若
,
,试用
表示
的周长,并求周长的最大值.

17．（本小题满分13分）

某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次．设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为
，
；租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为
，
，且两人租用的时间都不超过4小时．

（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；

（Ⅱ）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量
，求
的分布列与数学期望．

18. （本小题满分13分）

如图，已知四棱锥
的底面为菱形，
，
，
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）在线段AD上是否存在点Q，使得直线CQ和平面BCP所成角
的正弦值为
？若存在，请说明点Q位置；

若不存在，请说明不存在的理由。

19. （本小题满分13分）

已知椭圆
的中心为
，右顶点为
，在线段
上任意选定一点
，过点
作与
轴垂直的直线交
于
两点.

（Ⅰ）若椭圆
的长半轴为2，离心率
，

（ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（ⅱ）若
，点
在
的延长线上，且
成等比数列，试证明直线
与
相切；

（Ⅱ）试猜想过椭圆
上一点

的切线方程的一种方法，再加以证明.

20. （本小题满分14分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）当
时，试求
的单调区间；

（Ⅱ）若对任意的
，方程
恒有三个不等根，试求实数b的取值范围．

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多2做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知直线
，若矩阵

所对应的变换
把直线
变换为它自身。

（Ⅰ）求矩阵A； （Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
是参数
.

（Ⅰ）写出曲线
的普通方程；

（Ⅱ）若直线
与曲线
相交于
、
两点，且
，求
的值．

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

函数
的最小值为M；

（Ⅰ）求实数M的值；

（Ⅱ）若不等式
,(其中
)恒成立，求实数
的取值范围.

泉州一中2015届高考适应性训练参考答案

数学试题（理工类）（2015.5.23）

一、选择题：1~5 BDACB 6~10 ADDCC

二、填空题:11. 56 12. 7 .13.
14．
15. ②③

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.解(Ⅰ)

、
、
成等差,且公差为2,

、
. 又

,
,

,

,

恒等变形得
,解得
或
.又

,

(Ⅱ)在
中,
,

,
,
.

的周长

,

又

,

,

当
即
时,
取得最大值
.

17．解： （1）甲、乙所付费用可以为
、
元、
元…………………1分

甲、乙两人所付费用都是
元的概率为
…………………2分

甲、乙两人所付费用都是
元的概率为
…………………3分

甲、乙两人所付费用都是
元的概率为

故甲、乙两人所付费用相等的概率为
………………6分

（2）随机变量
的取值可以为
……………………………7分

故
的分布列为：



























 ……………………………………………11分

的数学期望是