福建省厦门双十中学5月高三热身考数学（文）试卷

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合
，集合
，则
等于

A．
B．
C．
D．

2．在
的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3. 已知函数
若直线
与函数
的图象有两个不同的交点，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
值是

A．3 B．4

C．6 D．8

5．已知双曲线C ：
-
=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为

A．
-
=1 B.
-
=1 C.
-
=1 D.
-
=1

6．设
，是变量
和
的
个样本点，直线l是

由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程(如图），以下结论中正确的是（ ）

A．
和
正相关

B．
和
的相关系数为直线l的斜率

C．
和
的相关系数在－1到0之间

D．当
为偶数时，分布在
两侧的样本点的个数一定相同

7. 如图，BC是单位圆A的一条直径, F是线段AB上的点，且
，

若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则
的值是（ ）

A.
B.
C.
D. 不确定

8．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是

A.
B.
C.5 D.6

9．函数
（其中
）的图象如图所示，为了得到
的图像，则只需将
的图像

A．向右平移
个长度单位 B．向右平移
个长度单位

C．向左平移
个长度单位 D．向左平移
个长度单位

10．已知函数
，有如下四个结论：

①是奇函数 ②是偶函数 ③在R上是增函数 ④在R上是减函数

其中正确的个数为 （ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

11．若x,y满足
仅在点（1，0）处取得最小值，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D。

12．已知集合M是满足下列性质的函数
的集合：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式
＝
＋
恒成立．现有两个函数：
，
，则函数
、
与集合M的关系为

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.

13．如果
（
，
表示虚数单位），那么

14. 在半径为1的圆内一条直径
上任取一点
，过点
作垂直于直径
的弦，则弦长大于
的概率是 .

15．已知抛物线y2=2px(p＞0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为2
，一直角边的方程是y=2x,则抛物线的方程为

16．已知函数
是定义域为R，且
都有：
，且
，

若数列
满足
，求数列{an}的通项公式

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题12分）

某校高一新生1000人中，来自A, B，C，D，E五个不同的初中校，现从中随机抽取20人，对其所在初中校进行统计分析，得到频率分布表如下：

初中校

A

B

C

D

E



频率

0.05

m

0.15

0.35

n



(Ⅰ)在抽取的20个同学中，来自E学校的为2人，求m，n的值；

（Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下，从来自C和E两学校的同学中任取2人，求抽取的2个人来自不同学校的概率．

18．（本小题满分12分） 已知等差数列{an}中，其前
项和
（其中
为常数），

(1)求{an}的通项公式；

(2)设
是公比为
等比数列，求数列{bn}的前n项和

19．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，若角
的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=

(
≥0).

(1)求
的值；

(2)若点P，Q分别是角
始边、终边上的动点，且PQ=4，求△POQ面积最大时，点P，Q的坐标．

20．（本小题满分12分）

已知长方体
，其中
，过
三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的，且这个几何体的体积为
.

（1）求几何体
的表面积；

（2）在线段
上是否存在点
，使直线
与
垂直，

如果存在，求线段
的长，如果不存在，请说明理由.

21. （本小题满分12分）

已知椭圆C:
(
)的离心率为
,点(1,
)在椭圆C上.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 若椭圆C的两条切线交于点M(4,
),其中
,切点分别是A、B,试利用结论:在椭圆
上的点(
)处的椭圆切线方程是
,证明直线AB恒过椭圆的右焦点
；

(Ⅲ)试探究
的值是否恒为常数,若是,求出此常数；若不是,请说明理由.

22．（本小题满分14分）

已知函数
（其中常数
），
(
是圆周率) .

（Ⅰ）当
时，若函数
是奇函数，求
的极值点；

（Ⅱ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅲ）当
时，求函数
在
上的最小值
，并探索：是否存在满足条件的实数
，使得对任意的
，
恒成立．

参考答案

答案：AADDA CBCAB CB

1A【解析】由已知，
，
，选A

2A【解析】
中，
，故选A

3D【解析】由图象可知

4D【解析】

，选D

5A【解析】设双曲线C ：
-
=1的半焦距为
，则
.

又
C 的渐近线为
，点P （2,1）在C 的渐近线上，得
.

又
，
，
C的方程为
-
=1.

6C【解析】
和
的相关系数
，负相关时为负，故选C

7B【解析】法一：向量分解法

法二： 特殊法：让DE与BC重合，则有

8．C【解析】x+3y=5xy，
，

.

9. A【解析】由已知，

,
时，
，

，
，只需用
代入可得
的图像，故选A

10. B【解析】定义域为R，
，故①错；
，
，故②错；

设
，故
在R上是减函数，

在R上是减函数，故④正确，③错误，故选B

11. C【解析】画出区域图，可知当
时，
，即
，符合题意；

当
时，
，斜率
，即
时符合题意；

当
时，
，斜率
，即
时符合题意；

综上，

12. B【解析】（1）若
＝ax＋b∈M，则存在非零常数k，对任意x∈D均有
＝akx＋b＝
＋
，即a(k－1)x＝
恒成立，得
无解，所以

M．

（2）
＝
＋
，则
＝
，k＝4，k＝2时等式恒成立，所以
＝
∈M．

二、填空题：

13.1【解析】

14.
【解析】当截得的弦长等于
时，半弦长等于
，因为半径为1，
，故符合条件的M应

满足
，故

15 y2=
x.【解析】因为一直角边的方程是y=2x,所以另一直角边的方程是y=-
x.由
，解得
,或
（舍去）， 由
,解得
,或
（舍去）,∴三角形的另两个顶点为
和（8 p,-4p）.

∴
=2
.解得p=
,故所求抛物线的方程为y2=
x.

16．
【解析】因为对任意
，
成立，令
可得
，

令
可得
，得
，

得
得

所以数列
是等差数列，公差为
，首项为
，故
，得

法二：求出
，得
；令
得
，
；

令
，
，
……归纳出

三.解答题

17【解析】：(1)由频率分布表得：
----------------2分

由抽取的20人中，来自E学校恰有2个人，则
--------------------5分

(2)由(1)得来自C学校有3人，记作
，来自E学校的有2个，记作

从
中任取2个，有

共10种 ------------------------------------------------------------------------8分

记事件A为“从
中任取2个人，来自不同学校”，则A包含的基本事件是

共6个 ---------------------------------------------10分

所求概率
------------------------------------------------------------------------------------------12分

18．【解析】：(1)


-----------2分

因为等差数列{an}，所以
得
-------------------------------------4分

-----------------------------------6分

(2)
，

------------------------------8分

-----------------------------------------