益阳市箴言中学2015届高三第十次模拟考试试题

理科数学试题

（考试时间120分钟 满分150分）

第I卷 （选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）

1．若集合
，则
( )

A．
B．
C．
D．
或

2．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且
=0.6826，则p（X>4）=（ ）

A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585

3．已知命题
:函数
的最小正周期为
；命题
：若函数
为偶函数，则
关于
对称.则下列命题是真命题的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．如下图是某四棱锥的三视图，则该棱锥的体积是 ( )

A．48 B．
C．16 D．

5. 若执行右上方的程序框图，输出
的值为4，则判断框中应填入的条件是( )

A．
B．
C．
D．
[来源:学优高考网]

6．在公差不为零的等差数列
中，
，数列
是等比数列，且
则
的值为 ( )

A．2 B．4 C．8 D．1

7. 已知
，
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
，则函数
的部分图象可以为 （ ）

9.已知双曲线
（
）的渐近线与圆
相切，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.设函数
，若对任意给定的
，都存在唯一的
，满足
，则正实数
的最小值是 （ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷 （非选择题 共100分）

二 填空题（本大题应答5小题，每小题5分，共25分，请把答案填入答卷中的横线上）

（一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答，全做按前两题记分）

11．如图，
是半圆
的直径，
在
的延长线上，
与半圆相切于点
，
，若
，
，则
.

12．已知在平面直角坐标系
中圆
的参数方程为：
，（
为参数），

以
为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：
则圆
截直线所得弦长为

13．若关于
的不等式
的解集不空，则
的取值范围是

（二）必做题（14－16题）

14．设
，则二项式
的展开式的常数项是_________.

15.已知x，y满足
且
的最大值与最小值分别为
和
，则
的值是

]16. 对定义在区间D上的函数
和
，如果对任意
，都有
成立，那么称函数
在区间D上可被
替代，D称为“替代区间”．给出以下命题：

①
在区间
上可被
替代；

②
可被
替代的一个“替代区间”为
；

③
在区间
可被
替代，则
；

④
，则存在实数
，使得
在区间
上被
替代；

其中是真命题的有 .

三、解答题 （本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

17. (本小题满分12分)己知函数
在
处取最小值．

（I）求
的值。

（II）在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知a=l，b=
，
，

求角C．

18. （本小题满分12分）

已知数列
是等比数列，首项
，公比
，其前
项和为
，且
，
，
成等差数列.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
，
为数列
的前
项和，若
恒成立，求
的最大值.

19.如图,四棱锥
,侧面
是边长为
的正三角形,且与底面垂直,底面
是

的菱形,
为棱
上的动点,且
(
)。

(Ⅰ) 求证:
；

(Ⅱ) 试确定
的值,使得二面角
的平面角余弦值为
。

20.（本小题满分13分）某工厂生产A，B两种型号的玩具，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种玩具各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标

[70,76）

[76,82）

[82,88）

[88,94）

[94,100）



玩具A

8

12

40

32

8



玩具B

7

18

40

29

6





（Ⅰ）试分别估计玩具A、玩具B为正品的概率；

（Ⅱ）生产一件玩具A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件玩具B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，

（i）记X为生产1件玩具A和1件玩具B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；

（ii）求生产5件玩具B所获得的利润不少于140元的概率．

21. （本小题满分13分）

已知椭圆
：
与抛物线
：
有相同焦点
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）已知直线
过椭圆
的另一焦点
，且与抛物线
相切于第一象限的点
，设平行
的直线
交椭圆
于
两点，当△
面积最大时，求直线
的方程．

22. （本小题满分13分）

已知函数
（
）

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，求
在
上的最大值和最小值（
）；

（Ⅲ）求证：
．

箴言中学2015届高三第十次月考数学（理）答案

一、选择题

1． B BBDC BCACB

10.当
时，
，值域为（0,1]，

；

当
时，
，值域为
，

；

当
时，
，值域为
，则
，

故
，

当
时，
值域为
,当
时，
值域为
，

，

，对称轴为
，

故
在
上是增函数，则
在上
的值域为
，即
），

由题意知，
，解得
，故正实数
的最小值为
；

二 填空题

11． 3 12．
13
14． -160 15.

]16.①②③

16【解析】①中
，故
在区间
上可被
替代，故正确；②中
，记
，易得

所以
，故正确；③中，
对任意
恒成立，易得
，
，故
，正确；④中假设
在区间
上能被
替代，则
，显然此式不能恒成立，故不正确

考点：新定义函数问题及其应用．

三、解答题 17. 解：（Ⅰ）

=
=
…………………3分

因为
在
处取得最小值，所以
，故
，又
所以
…………………………………6分

（Ⅱ）由（1）知
，因为
，且A为△
内角，所以
由正弦定理得
，所以
或
.…9分

当
时
，当
时
.

综上，
…………………………………………12分

18. 试题解析：（1）由题意可知：

当
时，不符合题意； 1分

当
时，
，

，
，
， 2分

，
, 3分

，
. 4分

（2）

，
，
， 5分

（1）

（2）

得：
6分

8分

恒成立，只需
9分

为递增数列，
当
时，
， 11分

，

的最大值为
. 12分

考点：1、等比数列的前
项和公式；2、错位相减求数列的和；3、恒成立的问题.

19. 解： (Ⅰ)取
中点
,连结
,依题意可知△
,△
均为正三角形,

所以
,
,又
,
平面
,
平面
,

所以
平面
,又
平面
,所以
,

因为
,所以
。

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
,又平面
平面
,

平面
平面

,

平面
,所以
平面
.

以
为原点,建立空间直角坐标系
如图所示,则

,
,
,
,

由
可得点
的坐标为
,

所以
,
,

设平面
的法向量为
,则
,即

解得
,令
,得
,

显然平面
的一个法向量为
,

依题意
,解得
或
(舍去),

所以,当
时,二面角
的余弦值为
.

20.【答案】（1）
；（2）（i）66；（ii）
．

考点：1．频率与概率；2．随机变量的分布列与期望；3．二项分布．

21. 试题分析：（Ⅰ）由于抛物线
的焦点为
，得到
，又
得到
．

（Ⅱ）思路一：设
，
，

直线
的方程为