岳阳市2015届高考信息卷（理数）

时量：120分钟 满分：150分

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）．

已知全集
，集合
，
，则下图中阴影部分所表示的集合为（ C ）

A．
B.

C.
D.

若复数
满足
，则
( B )

A.
B.
C.
D.

用辗转相除法求294和84的最大公约数，则所求 最大公约数为 ( B )

A. 21 B. 42 C.84 D.168

若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ A ）




已知等比数列
的各项均为正数，对
，
，
，则

（ B ）

A．
B．
C．
D．

在
中，若
，则有（ D ）

A．
B．
C．
D．

设命题
，则命题p为假命题的一个充分不必要条件是（ B ）

A. a≥1 B. a>1 C. a≤1 D. a<2

已知定义在
的函数
满足：①
；②
；

③
（
），
.则（ C ）

A．函数
的图像关于直线
对称 B．函数
的图像关关于点
对称

C．函数
在区间
内单调递增 D．函数
的最小正周期为1

已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
作圆
的切线分别交双曲线的左，右两支于点
，
，且
，则双曲线的渐近线方程为（ C ）

A．
B．
C．
D．

设函数
，若对任意给定的
，都存在唯一的
，满足

，则正实数
的最小值是（ A ）

A.
B.
C.2 D.4

二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）

（一）选做题（11～13题，考生只能从中选做二题，三题都做记前两题的得分）

如图，已知
是⊙
的一条弦，
是⊙
的直径，点
为
延长线上一点，且
为⊙
的一条切线，若
，
，则
的长是
.[]

已知在直角坐标系xOy中，曲线
的参数方程为
，点
在曲线
上，以Ox为极轴建立极坐标系，点
的极坐标为
，则
，
两点距离的最大值为
.

不等式
的解集是
.

（二）必做题（14～16题）

各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的
个专业中，选择
个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有 180 种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．

已知下面的数列通项和递推关系：

①数列
有递推关系
；

②数列
有递推关系
；

③数列
有递推关系
；

④数列
有递推关系
；

试猜测：

数列
的类似的递推关系
.

设实数
中的最大数为
，最小数为
.已知
且三数
能构成三角形的三边长，记
，求：

（1）若
，则
的最小值为 1 ；

（2）
的取值范围是

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

在
中，角
的对边分别为
， 向量
满足
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
成等差数列，且公差大于0，求
的值.

【解析】（Ⅰ）∵
，
，∴
，

根据正弦定理得
，

∴
． ………………………5分

（Ⅱ）∵
成等差数列，∴
，

由正弦定理以及（Ⅰ）得
． ①

设
， ②

①2＋②2，得
． ③

又
，
，∴
，
，

故
． 代入③式得
，

因此
． ………………………12分

18．（本小题满分12分）

有A，B，C三个盒子，每个盒子中放有红，黄，蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．

（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S为“取得红色的三个球”，事件T为“取得颜色互不相同的三个球”， 求P（S）和P（T）；

（Ⅱ）先从A盒中任取一球放入B盒，再从B盒中任取一球放入C盒，最后从C盒中任取一球放入A盒，设此时A盒中红球的个数为
，求
的分布列与数学期望E
．

【解析】（Ⅰ）
，
．…………………………4分

（Ⅱ）
的可能值为
．

①考虑
的情形，首先
盒中必须取一个红球放入
盒，相应概率为
，此时
盒中有2红2非红；若从
盒中取一红球放入
盒，相应概率为
，则
盒中有2红2非红，从
盒中只能取一个非红球放入
盒，相应概率为
；若从
盒中取一非红球放入
盒，相应概率为
，则
盒中有1红3非红，从
盒中只能取一个非红球放入
盒，相应概率为
．

故
．

②考虑
的情形，首先
盒中必须取一个非红球放入
盒，相应概率为
，此时
盒中有1红3非红；若从
盒中取一红球放入
盒，相应概率为
，则
盒中有2红2非红，从
盒中只能取一个红球放入
盒，相应概率为
；若从
盒中取一非红球放入
盒，相应概率为
，则
盒中有1红3非红，从
盒中只能取一个红球放入
盒，相应概率为
．

故
．

③
．

∴
的分布列为

0

1

2



P











的数学期望
． …………………………12分

19．（本题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形
为平行四边形，
，
，
，点
在
上，
．

（Ⅰ）证明：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）若二面角
的大小为
，求异面直线
与
所成角的大小．



【解析】（Ⅰ）∵
，
，
，

∴
，
，∴
，

∵
，∴
，

∵
平面
，∴
，又∵
，

∴
平面
，∵
平面
，∴
，

∵
，又∵
，

∴
平面
，

又∵
平面

∴平面
⊥平面
. ………………………6分

（Ⅱ）如图，以
为原点，
，
，
所在射线分别为x，y，z轴的正半轴，

建立空间直角坐标系A－xyz，设
，
，
，
，
，
（
）.

∵
，
，
，∴
平面
，

∴平面
的一个法向量为
.

∵
，∴
.设
，

∴
，

∴
.

设平面
的一个法向量为
，∵
，
，

∴
，令
，得
.

∵二面角
的大小为
，

∴
，解得
.

∴在
中，
，
，∴
.

∵
，∴异面直线
与
所成角为
，

∴异面直线
与
所成角的大小为
……………………………12分

20. (本小题满分13分)

某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第
个月的利润函数
（单位：万元）．为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第
个月的利润率为

，例如
．

（Ⅰ）求
；及第
个月的当月利润率；

（Ⅱ）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．

【解析】（Ⅰ）依题意得
，

． ………………………3分

当
时，
．

当
时，
，则