2014-2015学年高三考前适应性考试

文科数学试卷

试卷满分：150分 考试时间：120分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．设集合
,集合
是函数
的定义域，则
=（　　）

A．
B．
C．
D．

2．在复平面内，复数
对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知
（ ）

A.
B.
C.
D.-2

4. 在等差数列
中，若
，则
的值为 （ ）

A．20 B．22 C．24 D．28

5. 设实数x,y满足 ,若目标函数z=
x+y

(
)的最大值为10，则
的取值范围为（ ）

A．
B．

C．
D．
i>2013?

6.下列程序框图的输出结果为 （ ）

A.
B.

C.
D.

7．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　）

A．
B．
C．
D．

8．若函数

的图象如图所示，则
（　　）

A．1：6：5: (-8）

B．1: 6: 5: 8

C．1：（-6）：5: 8

D．1：（-6）：5: (-8）

9．函数
的图象恒过定点A，若点A在直线
上，其中m，n均大于0，则
的最小值为 （ ）

A．2 B．4 C．8 D．16

10．已知函数
则函数
在[-1,1]上的单调增区间为 （ ）

A.
B.
C
D.

11．若曲线C1：
＝2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线C2：
（a＞0，b＞0）的右焦点，且曲线C1与曲线C2交点的连线过点F，则曲线C2的离心率为 ( )

A．
－1 B．
＋1 C．
D．

12．定义在R上的奇函数
满足
，且不等式
在
上恒成立，则函数
=
的零点的个数为 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题：本大题共4个小题，每题5分，共20分

13.若圆
的半径为1，圆心在第一象限，且与直线
和
轴相切，则该圆的标准

方程是________________.

14.在等差数列
中，
，其前
项和为
，若
，则
的值等于 .

15.在三棱锥
中，
,
,则该三棱锥的外接球的表面积为 .

16、已知函数
，若存在实数
、
、
、
，满足

，
，则
的范围是 .

三、 解答题：

17、(本小题满分12分）

设
的内角
、
、
的对边分别为
、
、
，且满足
．

（1）求角
的大小；

（2）若
，求
面积的最大值．

18．（本题满分12分）

某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取
名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段
，
…
后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

(Ⅰ)求分数在
内的频率，并补全这个频率分布直方图；并估计成绩的平均值；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为
的学生中抽取一个容量为
的样本，将该样本看成一个总体，从中任取
人，求至多有
人在分数段
的概率.

19．（本题满分12分）

如图1所示，在Rt△ABC中，AC =6，BC =3，∠ABC=
，CD为∠ACB的角平分线，点E在线段AC上，且CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．

(1)求证：DE⊥平面BCD；

(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥
的体积．

20.(本小题满分12分）已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1和F2且｜F1F2｜＝2，点P（1，）在该椭圆上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若
A F2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.

21.（本题满分12分）

已知函数f(x)＝ln x－，e为自然对数的底数．

(1)若a>0，试判断f(x)的单调性；

(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的值；

(3)若f(x)

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分

22. 如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD中点，连结AG分别交⊙O、BD于点E、F连结CE．

（1）求证：
；

（2）求证：

23. （本小题满分10分）在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为：
（
为参数）．以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求曲线
的平面直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线
与曲线
交于点
，若点
的坐标为
，求
的值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知a和b是任意非零实数.

（1）求证

（2）若不等式
恒成立，求实数x的取值范围.[:]

答案

一． 选择题：DBACD CCDCA BC

二 、 填空题 13.
; 14. 0 ;

15.
; 16.
.

17.(本小题满分12分)

19．解：(1)在图1中，因为AC=6，BC=3，所以
，
．

因为CD为∠ACB的角平分线，所以
，
．（2分）

因为CE=4，
，由余弦定理可得
，

即
，解得DE=2．

则
，所以
，DE⊥DC．（4分）

在图2中，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD
平面ACD= CD，DE
平面ACD．且DE⊥DC，所以DE⊥平面BCD．（6分）

(2)在图2中，因为EF∥平面BDG，EF
平面ABC，

平面ABC
平面BDG= BG，所以EF//BG．

因为点E在线段AC上，CE=4，点F是AB的中点，

所以AE=EG=CG=2．（8分）

作BH⊥CD于点H．因为平面BCD⊥平面ACD，

所以BH⊥平面ACD．

由已知可得

．（10分）

，

所以三棱锥
的体积

．（12分）

20．(本小题满分12分）

21.解： (1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝＋＝.

∵a>0，∴f′(x)>0，

故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．

(2)由(1)可知，f′(x)＝.

①若a≥－1，则当x∈[1，e]时，x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，

∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去)．

②若a≤－e，则当x∈[1，e]时，x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，

∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去)．

③若－e

当1

当－a0，f(x)在(－a，e)上为增函数．

∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，∴a＝－.

综上所述，a＝－.

(3)由f(x)

又x>0，则a>xln x－x3.

令g(x)＝xln x－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，

则h′(x)＝－6x＝.

∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，

∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数，

∴h(x)

∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数，

∴g(x)

∴当a≥－1时，f(x)

22．证明：（1）连结
，
，

∵
为圆
的直径，∴
，

∴
为圆
的直径, ∴
,

∵
，∴
,

∵
为弧
中点，∴
，

∵
,∴
,

∴
∽
，∴
，

………………………………………………………………5分

（2）由（1）知
，
,

∴
∽
,∴
,

由（1）知
，∴
． …………………………………10分

23.解：（Ⅰ）由
，得
，

当
时，得
，

对应直角坐标方程为：
.

当
，
有实数解，说明曲线
过极点，而方程
所表示的曲线也过原点.

∴曲线
的直角坐标方程为
．

（Ⅱ）把直线
的参数方程代入曲线
的直角坐标方程，得
，

即
，由于
，故可设
是上述方程的两实根，

则
. ……5分

∵直线
过点
，

∴由
的几何意义，可得
．

24．证明：(1)
[:]

(2)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x) 得

又因为
则有2≥f(x)

解不等式 2≥|x-1|+|x-2|得
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