太原五中2014—2015学年度第二学期阶段检测

高 三 数 学(文)

命题人、校题人：阴瑞玲 (2015.5.25)

一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的）

1. 已知集合
则
为（ ）

Ａ．
　　　Ｂ．
　　Ｃ．
　　Ｄ．

2. 如图，复平面上的点
到原点的距离都相等，若复数
所对应的点为
，则复数
是虚数单位
的共轭复数所对应的点为( )

A．
B．
C．
D．

3.已知向量
则
等于( )

A．3 B.
C.
　　 D.

4．以下四个命题中,其中真命题的个数为( )

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②对于命题
：
使得
. 则

：
均有
；

③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1

④命题
是
的充分不必要条件；

A．1 B．2 C．3 　 D．4

5．将函数
的图象向右平移
个单位长度后得

到函数
的图象,若
的图象都经过点
,则
的值可以是 ( )

A．
B．
C．
D．

6. 已知实数
，执行右图所示的程序框图，

则输出x的值不小于55的概率为（　　　）

A.
　　B.
　　　 C.
　 　 D.

7．已知
,
满足约束条件
,若
的最小值为
,则
（ ）

A．
B．
C．
D．2

8.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则
等于 （ ）

9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

10. 如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆。垂直于x轴的直线
经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数
的大致图像如右图，那么平面图形的形状不可能是（ ）

11．已知双曲线
的两个焦点为
、
，其中一条渐近线方程为
，
为双曲线上一点，且满足
（其中
为坐标原点），若
、
、
成等比数列，则双曲线
的方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

12．若函数
，函数
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二．填空题（本题共4个小题，每小5分，满分20分）

13．在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，已知
，
，
，则
________.

14．已知椭圆
的离心率为
,则实数
等于

15.已知三棱锥
的外接球的球心
在
上，且
平面
,

，若三棱锥
的体积为
，则该三棱锥的外接球的体积为

16．已知函数
，函数
的零点个数为
，则
等于

三．解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．( 本小题满分12分)

已知数列
的奇数项是首项为1公差为
的等差数列，偶数项是首项为2公比为

的等比数列.
的前
项和为
，且满足
.

（Ⅰ）求
和
的值； （Ⅱ）求数列
的通项公式
及前
项和
.

18. ( 本小题满分12分) )

某高中三年级有一个年级有一个实验班一个对比班，根据这两个班的市二模考试的数学科目成绩（规定考试成绩在
内为优秀），统计结果如下：

分组



















频数

1

2

12

13

12

9

1

0



 对比班数学成绩的频数分布表如下：

分组



















频数

 2

3

13

11

9

10

1

1



（1）分别求这两个班的成绩优秀率，若用分层抽样的法从实验班中抽取15名同学的数学试卷进行试卷分析，则从该班数学成绩为优秀的试卷中应抽取多少份？

（2）统计学中常用M值作为衡量总体水平的一种指标，已知M与成绩t的关系式为
，分别求这两个班学生数学成绩的M总值，并据此对这两个班数

学成绩的总体水平作一个简单评价。

19．(本题满分12分) 如图，在直三棱柱
中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱
上，

已知

（1）求证：
平面
；

（2）点M在棱
上，当BM为何值时，平面
平面
？

20．(本题满分12分)给定椭圆
，称圆心在原点
,半径为
的圆是椭圆
的“准圆”．若椭圆
的一个焦点为
，且其短轴上的一个端点到
的距离为
.

(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

(2)点
是椭圆
的“准圆”上的一个动点，过动点
作直线
,
，使得
,
与椭圆

都只有一个交点，试判断
,
是否垂直，并说明理由．

21.(本小题满分12分)已知函数

（1）求函数
的单调区间；

（2）当
时，
，求实数
的取值范围。

选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号.

22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是

⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直

线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H.

(1)求证：C，D，E，F四点共圆；

(2)若GH＝6，GE＝4，求EF的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是
（为参数）．

(1)求曲线
的直角坐标方程与直线的普通方程；

(2)设点
，若直线与曲线
交于
，
两点，且
，求实数
的值．

24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

已知正实数
满足：
.

（1）求
的最小值
;

（2）设函数
，对于（1）中求得的
，是否存在实数
，使得
成立，说明理由.

数学答案(文)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

B

B

A

B

C

A

D

B

C

A

B



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13、
或
14、 2或__8_ 15、
16、

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．17.解析 ：解：（1）根据题意得：

即：
解得：

（2）由（1）得：

所以：当n为偶数时，其中有
个奇数项，
个偶数项。奇数项的和为：
，偶数项的和为：
。所以

+
。当n为奇数时，n+1为偶数，

=

18. (1)实验班成绩优秀率为0.2

对比班成绩优秀率为0.24

抽取3份

(2) 实验班的M值为145

对比班的M值为137

实验班数学成绩总体略高于对比班

19．

20．20．解：(1)由题意可知c＝，b2＋c2＝()2，

则a＝，b＝1，

所以椭圆方程为＋y2＝1.

易知准圆半径为＝2，

则准圆方程为x2＋y2＝4.

(2)①当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，

不妨设l1的斜率不存在，

因为l1与椭圆只有一个公共点，

则其方程为x＝±，

当l1的方程为x＝时，

此时l1与准圆交于点(，1)，(，－1)，

此时经过点(，1)或(，－1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y＝1或y＝－1，

即l2为y＝1或y＝－1，显然直线l1，l2垂直；

同理可证直线l1的方程为x＝－时，直线l1，l2也垂直．

②当l1，l2的斜率都存在时，设点P(x0，y0)，[来源:Z#xx#k.Com]

其中x＋y＝4.

设经过点P(x0，y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y＝t(x－x0)＋y0，

由  消去y，得

(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0.

由Δ＝0化简整理得，(3－x)t2＋2x0y0t＋1－y＝0.

因为x＋y＝4，

所以有(3－x)t2＋2x0y0t＋x－3＝0.

设直线l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆只有一个公共点，

所以t1，t2满足方程(3－x)t2＋2x0y0t＋x－3＝0，

所以t1·t2＝－1，即l1，l2垂直．

综合①②知，l1，l2垂直．

解：（1）
，

令
当
单增，

单减

（2）令
，即
恒成立，

而
，

令

在
上单调递增，
，

当
时，
在
上单调递增，
，符合题意；

当
时，
在
上单调递减，
，与题意不合；

当
时，
为一个单调递增的函数，而
，

由零点存在性定理，必存在一个零点
，使得
，当
时，
从而
在
上单调递减，从而
，与题意不合，

综上所述：
的取值范围为

22. 【解】(1)证明：连接DB(如图7.1-10)，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，

在Rt△ABD与Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，

又∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE，

∴C，D，E，F四点共圆．

(2)?GH2＝GE·GF，

又GH＝6，GE＝4，∴GF＝9，EF＝GF－GE＝5.

23. 解：（Ⅰ）由
，得：
，∴
，即
，

∴曲线
的直角坐标方程为
.
分

由
，得
，即
，

∴直线的普通方程为
.