“合肥八中”2015年高三学生最后一卷

理科数学

一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.在复平面内,复数
满足
其中
为虚数单位),则复数
对应的点在

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.集合
,则使得
成立的所有
的值的集合是

A.
B.
C.
D.

3.已知程序框图如图所示,则该程序框图的功能是

A.求数列
的前11项和
B.求数列
的前11项和

C.求数列
的前12项和
D.求数列
的前12项和

4.如图是正态分布
的正态曲线图,下面四个式

子:①
;②
;③
;④
(其中
)则这些式子等于图中阴影部分面积的个数为

A.0 B.1 C.2 D.3

5.若
的展开式中,含
的系数为
,则
等于

A.
B.
C.
D.

6.已知双曲线
上存在两点
关于直线
对称,且
的中点在抛物线
上,则实数
的值为

A.4 B.
C.0或4 D.0或

7.如图,
为直线
外一点,若
中任意相邻两点的距离相等,设

,用
表示
,其结果为

A.
B.
C.
D.

8.现准备将7本相同的杂志全部分发给5个不同的阅读小组,其中甲,乙两个小组每个小组至少两本,其他小组允许1本也没有,则不同的分发方案共有

A.27种 B.29种 C.35种 D.125种

9.已知棱长为1的正方体
中,
分别是
的中点,又
分别在线段
上,且
,设平面
平面
,则下列结论不成立的是

A.
平面
B.

C.当
变化时,
不是定直线 D.平面
与平面
不垂直

10.已知函数
,定义:

满足
的点
称为
的
阶不动点,则
的
阶不动点的个数是

A.
B.
C.
D.

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.

11.已知点
的坐标
满足不等式组
,则
的取值范围是

12.已知函数
,若
,则

13.如图,已知正方形
的边长为1,点
是
边上的动点,则
的最大值为

14.画在每一个边长为1的正方形网格上的一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

15.将函数
的所有极大值点从小到大依次排成数列
,

,则下列命题正确的是 (写出你认为正确的所有命题的序号)

①函数
在
处取得极大值;

②
;

③
对于任意正整数
恒成立;

④存在正整数
,使得对于任意正整数
,都有
成立;

⑤
取所有的正整数,
的最大值为

三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16(本小题满分12分)

在
中,角
的对边分别是
,已知
成等比数列,且
.

(Ⅰ)若
,求
的值;

(Ⅱ)求
的值.

17(本小题满分12分)

某工厂在实验阶段大量生产一种零件,这种零件有
两项技术指标需要检验,设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为
,至少一项技术指标达标的概率为
,按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品.

(Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率;

(Ⅱ)任意一次抽取该种零件100个,设
表示其中合格品的个数,求
的概率分布列及数学期望和方差.

18(本小题满分12分)

如图,已知直三棱柱
是棱
上的动点,
是
的中点,

.

(Ⅰ)求证:
平面
;

(Ⅱ)当
为棱
的中点时,求证:
平面
;

(Ⅲ)在棱
上是否存在点
,使得二面角
的大小是
,若存在,求出
的长,若不存在,请说明理由.

19(本小题满分13分)

已知函数
其中
是自然对数的底数.

(Ⅰ)求曲线
在点
处的切线方程;

(Ⅱ)若对任意
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;

(Ⅲ)试探究当
时,方程
的解的个数,并说明理由.

20(本小题满分13分)

曲线
是由方程为
的弧线及方程为
的弧线构成的封闭曲线,若点
为等边三角形的三个顶点(其中
),

椭圆
的离心率为
.

(Ⅰ)求曲线
的方程;

(Ⅱ)是否存在过原点的直线
与曲线
交于不在
轴上的
两点,使得
,若存在,求出该直线的斜率,若不存在,请说明理由.

21(本小题满分12分)

已知函数
.

(Ⅰ)求证:
;

(Ⅱ)令
,求证:

参考答案:

D A D C B D D C C B 11.[0,4] 12.7 13.
14.
15.①②④⑤

16.
或

17.

18.

19.

两个解

20. 【解:】(Ⅰ)因为点
为等边三角形的三个顶点

所以,
,

又椭圆
的离心率为
.所以
,故

所以,曲线
的方程是
和
………………7分

(Ⅱ)若存在这样的直线,则四边形
是平行四边形,由对称性,过原点的直线与椭圆
的交点都符合,设这样的直线存在,与
交于
点,与
交于
点,故
是
与
的交点.

联立方程
得
或
或
或

由图形知
或
符合,所以这样的直线的斜率为
或

所以,这样的直线的存在 其斜率为
或
…………………13分

本题也可以设过原点的直线,求交点,也可以直接设点,相应给分.

21. 【解析:】(Ⅰ)
,由

由
,所以,
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,

所以,
,即
…………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)
,累乘,即得

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