2015届枞阳县宏实中学最后一卷

文科数学试题

命题： 宏实中学最后一卷数学课题组 审题 ：杨建平

（考试时间：2015年5月26日下午15：00～17：00）

本试卷分选择题和非选择题两部分，第I卷（选择题），第II卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名，考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦拭干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上做答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，只将答题卡交回。

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．复数
的共轭复数是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知直线l1：ax+ 2y +1=0，
2：（3－a）x－y+a=0，则条件“a=1”是“l1⊥
2"的( )

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件

3．已知抛物线
的焦点到准线的距离为2，则
（ ）

A．
B．
C．
D．
（第4题图）

4．执行如图所示的程序框图，则输出的
的值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

5. 设


，则
的大小关系是

A．
B．
C．
D．

6.在面积为
的
内部任取一点
，则
的面积大于

的概率为( )

A.
B.
C.
D.
（第7题图）

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.
B.
C.
D.

8.??已知函数
在
上有两个零点，则m的取值范围为（ ）

A.
B
C.
D.

9．已知奇函数
的导函数
在R恒成立，且
满足不等式

，则
的取值范围是(　 　)

A.
B.
C.
D.

10. 已知点
是抛物线
的对称轴与准线的交点，点
为抛物线的焦点，
在抛物线上且满足
，当
取最大值时，点
恰好在以
为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为(　 　)

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上。

11. 式子
的值为

12.若正项数列
满足
,且
，则

的值为

13.已知
为由不等式组
所确定的平面区域上的动点，若点
，则
的最大值为

14.已知命题
:
，命题
:
若命题“
”是真命题，则实数
的取值范围是

15. 给出以下五个命题： ①点
的一个对称中心

②设回时直线方程为
，当变量x增加一个单位时，y大约减少2.5个单位

③命题“在△ABC中，若
，则△ABC为等腰三角形”的逆否命题为真命题

④把函数
的图像向右平移
个单位长度得到函数
的图像；

⑤设
，
，则“
”是 “
” 成立的充分不必要条件.

不正确的是 （将正确命题的序号全填上）

三．解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16. (本小题满分12分)

已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的定义域及最小正周期；

(2)求f(x)的单调递增区间。

17．（本小题满分12分）

为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下列联表（平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖）：

常喝

不常喝

合计



肥胖



2





不肥胖



18





合计





30





已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为
．

（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；

（Ⅱ）是否有99．5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由；

（Ⅲ）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少?参考数据：

18. （本小题满分12分） 已知数列
，
满足条件：

，
．

（1）求证数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；

（2）求数列
的前
项和
,并求使得
对任意
N*都成立的正整数
的最小值。

19. (本小题满分12分)

如图，
是圆
的直径，点
在圆
上,矩形
所

在的平面垂直于圆
所在的平面,
，
．

（1）证明：平面
平面
；

（2）当三棱锥
的体积最大时，求点
到平面

的距离。

20.（本小题满分13分）

设函数
.

(1)当
时，
在
上恒成立，求实数
的取值范围;

(2)当
时，若函数
在
上恰有两个不同零点，求实数
的取值范围。

21.（本小题满分14分）

已知直线
过椭圆
的一个焦点和一个顶点。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）. 点D在椭圆C上，且
，直线BD与
轴交于点M，求常数
使得

2015届枞阳县宏实中学最后一卷

文数参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项

D

B

C

C

B

DgkstkCom

C

C

A

C



10. 解析：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵
，∴|PA|=m|PN|,∴
,设PA的倾斜角为α，则sinα=
，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx-1，代入x2=4y，可得x2=4（kx-1），即x2-4kx+4=0，∴△=16k2-16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA-PB=2（
-1）∴双曲线的离心率为
．故选C．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.
12. 2015×1010 13.4 14.
； 15. ④⑤

三．解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.（本大题满分12分）解　(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，

故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．

因为f(x)＝ ＝2cos x(sin x－cos x)

＝sin 2x－2cos2x ＝sin 2x－(1＋cos 2x) ＝sin－1，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π. ……6分

(2)函数y＝sin x的单调递增区间为 (k∈Z)．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，来源学高考

得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．

所以f(x)的单调递增区间为 和(k∈Z)． ……12分

17．(12分)

解：（I）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有
人，
. ……1分

常喝

不常喝

合计



肥胖

6

2

8



 不胖

4

18

22



合计

10

20

30



 ……3分

（II）由已知数据可求得：
……6分

因此有
的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关． ……8分

（III）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，则任取两人有 AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种.……9分

其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF， DE，DF.共8种. ……10分

故抽出一男一女的概率是
……12分

18. (12分)

【答案】解：（Ⅰ）∵

∴
，∵
，
……2分

∴数列
是首项为2，公比为2的等比数列 ．

∴
∴
……4分

（Ⅱ）∵
， ……6分

∴

． ……8分

∵
，又
，

∴
N*，即数列
是递增数列．　　　　　　　　　　

∴当
时，
取得最小值
． ……10分

要使得
对任意
N*都成立，结合（Ⅰ）的结果，只需
，由此得
．∴正整数
的最小值是5 …………12分

19．(12分)

（1）证明：∵
是直径，∴
……………1分，

又四边形
为矩形,
,
,∴

∵
，∴
平面
…………4分

又
平面
，∴平面
平面
……………6分

（2）由⑴知

， ……………………8分，

当且仅当
时等号成立 ………………9分，

∴当
三棱锥
体积最大为
………………10分，

此时，
，

设点
到平面
的距离为
，则

……………12分

20.（满分13分）

解:（1）当
由
可得
，即
……1分

记
，则
在
上恒成立等价于
.

求得
当
时;
;当
时，

故
在
处取得极小值，也是最小值，

即
，故
. -----------6分

（2）函数
在
上恰有两个不同的零点等价于方程
，

在
上恰有两个相异实根。 ……………8分

令
,则

当
时，
,当
时，