2015届枞阳县宏实中学最后一卷

理科数学试题

命题： 宏实中学最后一卷数学课题组 审题 ：王玉宝

（考试时间：2015年5月26日下午15：00～17：00）

本试卷分选择题和非选择题两部分，第I卷（选择题），第II卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名，考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦拭干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上做答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，只将答题卡交回。

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数
的共轭复数是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是(　　)

A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

3．某程序的框图如图所示，输入N=5，则输出的数等于( )

A．
B．
C．
D．

4. 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是

A．(－∞，2] B.[－2,2] C．(－2,2] D.(－∞，－2)

5．若方程sin2x＋2sin x＋a＝0有解，则实数a的取值范围是(　 　)

A．[－3,1] B．(－∞，1] C．[1，＋∞) D．[－1,1]

6．已知函数
，集合
，现从M中任取两

个不同的元素
，则
的概率为( )

A．
B．
C．
D．

7. 已知点B是半径为1的圆O上的点，A是平面内一点，线段AB的垂直平分线

交直线OB于点P，则点P的轨迹不可能是（ ）

A.一个点 B.双曲线 C.椭圆 D.抛物线

8. 如图，点P是单位正方体ABCD－A1B1C1D1中异于A的一个顶点，则·的值为（ ） (　　)．

A．0 B．1 C．0或1 D．任意实数

9．已知函数
在
上有两个零点，则m的取值范围为（ ）

A.
B
C.
D.

10．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分。已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有( )

　　A 19种　 　　　B 18种 　C 13种　　　 　D 7种　

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

11．设
，则二项式
的展开式的常数项是__________.

12．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．

13. 已知
满足
，记目标函数
的最大值为7，最小值为1，则
的值是 .[

14. 已知双曲线
的左、右顶点分别为
，P是双曲线右支上一点，且
，则
的值是______ _______.

15. 给出以下五个命题： ①点
的一个对称中心

②设回时直线方程为
，当变量x增加一个单位时，y大约减少2.5个单位

③命题“在△ABC中，若
，则△ABC为等腰三角形”的逆否命题为真命题

④对于命题p：“
”则
“
”

⑤设
，
，则“
”是 “
” 成立的充分不必要条件.

不正确的是

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

16.（本大题满分12分） 已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的定义域及最小正周期；

(2)求f(x)的单调递增区间．

17.（本大题满分12分）某同学报名参加“疯狂的麦咭”的选拔．已知在备选的
道试题中，该同学能答对其中的
题，规定每次考试都从备选题中随机抽出
题进行测试（必须
题全部答完），至少答对
题才能入选.

(Ⅰ)求该同学答对试题数
的概率分布列及数学期望；

(Ⅱ)设
为该同学答对试题数与该同学答错试题数之差的平方，记“函数
在定义域内单调递增”为事件
，求事件
的概率．

18.（本大题满分12分）在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BD＝8，E是线段AD的中点．如图所示，沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，使得平面BC′D⊥平面ABD.

(1)求证：C′D⊥平面ABD；

(2)求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．

19.（本大题满分13分）已知抛物线C：


的焦点为F，A（4，1）是抛物线内一点，P在抛物线上，PA+PF的最小值为5.

（1）求抛物线方程；

（2）一条直线与抛物线相交于A、B（其中A在第一象限）与
轴、
轴相交于C、D，且
的比为3：2：1，若这样的直线存在，求出所有符合条件的直线方程；若不存在，说明理由。

20.（本大题满分13分）设同时满足条件：①
；②
(
，
是与无关的常数)的无穷数列
叫“宏实”数列.已知数列
的前项和
满足：
（
为常数，且
，
）．

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）设
，若数列
为等比数列，求
的值，并证明此时
为“宏实”数列.

21.（本大题满分13分）已知定义在
上的函数
总有导函数
,定义
.

一是自然对数的底数.

(1)若
,且
,试分别判断函数
和
的单调性:

(2)若
.

①当
时,求函数
的最小值；

②设
,是否存在
,使得
?若存在,请求出一组
的值:若不存在,请说明理由。

2015届枞阳县宏实中学最后一卷

理数参考答案

一、选择题

DDBCA，ADCCA

二、填空题

11. -160 12. 1 13.
14. -4:1:5 15. ④⑤

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

16.（本大题满分12分）解　(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，

故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．

因为f(x)＝ ＝2cos x(sin x－cos x)

＝sin 2x－2cos2x ＝sin 2x－(1＋cos 2x) ＝sin－1，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)函数y＝sin x的单调递增区间为 (k∈Z)．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，来源

得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．

所以f(x)的单调递增区间为 和(k∈Z)．

17. （本大题满分12分）解：(Ⅰ)依题意，答对试题数
的可能取值为
………………1分

则
，

，
…………………………5分

其分布列如下：






[:]

















………………………………6分

答对试题数
的数学期望：
……………8分

(Ⅱ)
的可能取值为
……………9分

当
时,
在定义域内是减函数.

当
时,
在定义域内是增函数………………………10分

其中
分别是答对题数为
和
的情形，两事件为互斥事件

………………………12分

18. （本大题满分12分）(1)证明　平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BD＝8，沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，

可知C′D＝CD＝6，BC′＝BC＝10，BD＝8，

即BC′2＝C′D2＋BD2∴C′D⊥BD.

又∵平面BC′D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD＝BD，

C′D?平面BC′D，∴C′D⊥平面ABD.

(2)解　由(1)知C′D⊥平面ABD，且CD⊥BD，

如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D－xyz.则D(0,0,0)，A(8,6,0)，B(8,0,0)，C′(0,0,6)．

∵E是线段AD的中点，际上 ∴E(4,3,0)，＝(－8,0,0)．

在平面BEC′中，＝(－4,3,0)，＝(－8,0,6)，

设平面BEC′法向量为n＝(x，y，z)，

∴即

令x＝3，得y＝4，z＝4，故n＝(3,4,4)．

设直线BD与平面BEC′所成角为θ，则

sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝. ∴直线BD与平面BEC′所成角的正弦值为.

19（本大题满分13分）（1）

（2）设C（a,0）、D（b,0）由AC＝CD得A（2a,-b）代入抛物线方程
①

由CB＝2BD得B（
）代入抛物线方程
②

由①②解
所以这样的直线不存在

20（本大题满分13分）解：（Ⅰ）因为
,所以

当
时，

，

即以a为首项，a为公比的等比数列． ∴
； ……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，

则有
，故
，解得

再将
代入得
成等比数列， 所以
成立 …………………8分

由于①
…………………10分

（或做差：因为
，所以
也成立)

②
，故存在
；故
为“宏实”数列………13分

21.（本大题满分13分）

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