2015届徐闻一中理数考前重要解答题阅读 数列

热点前瞻1.解答题位置不出意外为19题 ，难度中等偏难。2题型结构为比较纯粹的数列问题，以通项及求和问题为核心结合不等式为热点问题。3考查数学知识与方法：（1）等差等比（2）递推数列求通项公式（特别是广东已连续三年考查了Sn与an,n递推关系的问题），08两阶线性递推，11分式一阶非线性递推（取倒数或不动点法），12一阶线性递推（3）错位相减与裂项求和（4）数学归纳法。12,13,14通项皆可用数学归纳法求之，不出意外今年还会考查数学归纳法。大家要熟练掌握数学归纳法证明等式及不等式问题。（5）放缩法，11,12,13都考查过4.思想与能力：转化与化归，运算求解，逻辑推理

1、已知正项数列
的前n项和
满足：
，且
、
、
成等比数列，求数列
的通项

解：由已知：
①

②

由①-②：

移项合并：
，即：

由于正项数列
，所以：
，即：
；

由此得到
是公差为5的等差数列.

设：
，则：
，
；

由
、
、
成等比数列得：
，即：
；

即：
，故：
. 所以：

本题由等式条件得出公差是5，由等比条件确定首项.

2、已知数列
的前n项和
,试求数列
的前n项和

解：由已知：

及：
和：

得到上面求和公式可分成两部分，一个
求和，一个
求和.

故：
. 那么：
；

所以：
.

要熟悉一些基本的求和公式，还有裂项求和方法.

3、设数列
，
，
，且满足：
，
，求通项

解：本题是二阶递推数列，且看如何解：

待定系数法：令：

则：

与
比较系数得：

若将
、
看成是一元二次方程的两个根，则又韦达定理得到这个方程为：
，而这正是采用特征根法的特征方程.

上述方程的解为：
，或：
，这两组解推出的数列通项的结果是一样的. 取

令：
，则
，

于是：
，则
是首项为1，公比为2的等比数列，其通项为：
，故：
，即：

再用待定系数法，令：

则：

与
比较得：
，

令：
，则：

由于
，于是：

即：
，故：
.

现在用特征根法求解：

特征方程：
，其两个根为：
，

代入特征根法的二异根解得：

用
，
代入上式，以确定
、

则：
，
，解得：
，

故：

对于二阶递推数列，采用特征根法比较简洁.

4、已知正项数列
，
，且满足：
，求通项

解：
，则：

令：
，则：
，
，

代入上式得：

于是：
；

；

；

；

……；

故：

这是递推数列的递推法. 另：也可取对数再做

5、已知数列
中，
，且满足：
，
，求通项

解：将
化简为：
①

用不动点法解不动点方程：
；

即：
，方程的根为二重根：
；

那么，二重根的不动点解为：

（
为待定常数） ②

通分化简得：
；

即：
；

即：
③

将③式与①式对比得：
.

令：
，则：
，

代入②式得：

即：
是一个首项为
、公差为1的等差数列. 故：
.

代入：
，即：

不动点法根为二重根时，可构造等差数列解之.

6、已知数列
中，
，且满足：
，求通项

解：将
化简为：
①

用不动点法解不动点方程：
；

即：
，方程的根为二异根：
，
；

设二异根解式满足：
，即：
②

化简：
；

即：
③

比较①③两式得：

令：
，则：
，

代入②式得：

于是：
是首项为
、公比为
的等比数列，

即：
. 代入
得：

不动点法根为二异根时，可构造等比数列求之.

7.已知数列
的前
项和为
，且
．

（1）求数列
的通项公式；[来源:Zxxk.Com]

（2）若
，数列
的前
项和为
，证明：
．

【答案】（1）
；
（2）证明见分析．

【解析】

试题分析：（1）当
时，
…………………………1分

∴
…………………………2分

即
…………………………3分

当
时，

∴
…………………………4分

∴数列
是以
为首项，公比为
的等比数列…………………………5分

∴
…………………………6分

（2）由（1）知：

∴
……………
………8分

∴

……………………10分

∵

∴

∴数列
是递增数列……………………12分

即
……………………13分

∴
……
………………14分

考点：1、数列的通项公式；2、数列的求和；3、不等式的证明．

8．（本小题满分14分）已知数列
对任意的
，都有

且
.

（1）求
，
的值；

（2）求数列
的通项公式
；

（3）若
，数列
的前
项和为
，求证：
．

【答案】（1）
，
；（2）
；（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）当
代入
且
可直接求得
，
的值；

（2）由
得
，两式作差化简得
，又
，所以
，所以数列
是等差数列，故
；（3）由（2）得
，

.

考点：1．由递推关系求项值及
；2．等比数列的前
项和公式；3．放缩法证不等式．

9．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

已知数列
的前
项和为
，且
，

(
)．

(Ⅰ) 求数列
的通项公式；

(Ⅱ) 设
，
，求证：
．

解：(Ⅰ)
，
，

，即
， …………… 2分

是以首项为
，公比为
的等比数列． ………… 3分

，即
． ………… 4分

(Ⅱ)
，

，

．

两式相减，得

，

． ………… 6分

，
，

，
．

① 先证明：
．

方法一：

，

， …………… 8分

，即
． ………… 9分

方法二：用数学归纳法证明如下：

（1）当
时，左边
，右边
，

，
左边
右边，即不等式成立． …………… 7分

（2）假设当
时，不等式成立，即
，

那么，当
时，

左边

右边，
左边
右边．

当
时，不等式也成立． ………… 9分

对