太原五中2014—2015学年度第二学期阶段检测

高 三 数 学(理)

命题人:刘晓瑜 校题人： 王文杰 (2015.5.25)

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）．满分150分，考试时间120分钟．

第I卷（选择题 共60分）

一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的）

1. 已知集合
则
为（ ）

Ａ．
　Ｂ．
　　 Ｃ．
　　Ｄ．

2. 甲乙两人从
门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有
门不相同的选法共有（ ）

A．30种 B．36种 C．60种 D．72种

3．已知向量
则
等于( )

A．3 B.
C.
　　 D.

4．
的展开式中
的系数是（ ）

A.-3 B.3 C.-4 D.4

5．实数
满足
，使
取得最大值的最优解有2个，则
的最小值为（ ）

A.0 B.-2 C.1 D.-1

6．已知点A、B、C、D均在球O上，AB＝BC＝
,AC＝3，若三棱锥D－ABC体积的最大值为
，则球O的表面积为

A．36π B．16π C．12π D．
π

7. 已知实数
，执行右图所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为（　　　）

A.
　　　 B.
　　　

C.
　 　　　 D.

8．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．

甲说：我在1日和3日都有值班;

乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是

A.2日和5日 B．5日和6日 C．6日和11日 D．2日和11日

9. 以下四个命题中,其中真命题的个数为( )

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②对于命题
：
使得
. 则

：
均有
；

③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1

④命题
是
的充分不必要条件；

A．1 B．2 C．3 　 D．4

10．已知双曲线
的两个焦点为
、
，其中一条渐近线方程为
，
为双曲线上一点，且满足
（其中
为坐标原点），若
、
、
成等比数列，则双曲线
的方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

11．已知一函数满足x>0时，有
，则下列结论一定成立的是（ ）

A．
B．

C.
D．

12．如图,在
中,
,
,
是边
上的高,当
时,
的最大值与最小值之差为（ ）．

A. 1 B.2 C.3 D.4

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22—24题为选考题，考生根据要求做答．

二．填空题（本题共4个小题，每小5分，满分20分）

13．已知椭圆
的离心率为
,则实数
等于

14.若函数
的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为

15．三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比是________．

16．如图1在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为
，沿BE方向前进15m，至点C处测得顶端A的仰角为2
，再继续前进
m至D点，测得顶端A的仰角为4
，求建筑物AE的高 。

三．解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．( 本小题满分12分)

已知数列
满足
,(其中
是数列
的前
项和,且
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式;

(Ⅱ)设
,求数列
的前
项和
.

18. ( 本小题满分12分)

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物
次，最后落入
袋或
袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是
、
.

（Ⅰ）分别求出小球落入
袋和
袋中的概率；

（Ⅱ）在容器的入口处依次放入
个小球，记
为落入
袋中的小球个数，求
的分布列和数学期望．

19．(本题满分12分已知四棱锥A—BCED的三视图如图所示， 其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求此几何体的体积V的大小;

（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ
BQ，并说明理由.

20．(本题满分12分)

给定椭圆
，称圆心在原点
,半径为
的圆是椭圆
的“准圆”．若椭圆
的一个焦点为
，且其短轴上的一个端点到
的距离为
.

(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

(2)点
是椭圆
的“准圆”上的一个动点，过动点
作直线
,
，使得
,
与椭圆

都只有一个交点，试判断
,
是否垂直，并说明理由．

21.(本小题满分12分)

已知函数
.

（Ⅰ）讨论
的单调性；

（Ⅱ）若
恒成立，证明：当
时，
.

选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知

外接圆劣弧
上的点（不与点
、
重合），延长
至
,延长
交
的延长线于
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
．

23.(本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
（θ为参数），直线l经过定点P（2，3），倾斜角为
．

（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的标准方程；

（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求｜PA｜·｜PB｜的值．

24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

(1)当m＝5时，求函数f(x)的定义域；

(2)若关于x的不等式f(x)≥1的解集是R，求m的取值范围．

太原五中2014—2015年度高三年级阶段性检测

高三数学参考答案

一． 选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

B

A

A

B

C

C

A

A

B

B



二．填空题

13． 2或8. 14.；
15.或－ 16. 5m

18. 解：（Ⅰ）记“小球落入
袋中”为事件
，“小球落入
袋中”为事件
，则事件
的对立事件为事件
. ………………………………………1分

而小球落入
袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，

故
, …………… …3分

从而
.………………………4分

（Ⅱ）显然，随机变量
的所有可能取值为
.…… …5分

且
.…………………………6分

故
，
，
，
，
.

0

























则
的分布列为

…………10分

故
的数学期望为
. ………………12分

19．

20．解：(1)由题意可知c＝，b2＋c2＝()2，则a＝，b＝1，

所以椭圆方程为＋y2＝1.

易知准圆半径为＝2，则准圆方程为x2＋y2＝4.

(2)①当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，

不妨设l1的斜率不存在，

因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x＝±，

当l1的方程为x＝时，

此时l1与准圆交于点(，1)，(，－1)，

此时经过点(，1)或(，－1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y＝1或y＝－1，

即l2为y＝1或y＝－1，显然直线l1，l2垂直；

同理可证直线l1的方程为x＝－时，直线l1，l2也垂直．

②当l1，l2的斜率都存在时，设点P(x0，y0)，x＋y＝4.

设经过点P(x0，y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y＝t(x－x0)＋y0，

联立方程消去y，得(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0.

由Δ＝0化简整理得，(3－x)t2＋2x0y0t＋1－y＝0.

因为x＋y＝4，所以有(3－x)t2＋2x0y0t＋x－3＝0.

设直线l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆只有一个公共点，

所以t1，t2满足方程(3－x)t2＋2x0y0t＋x－3＝0，所以t1·t2＝－1，即l1，l2垂直．

综合①②知，l1，l2垂直．

21.

当
时，

-1）-2（x2-x）

所以

选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，-如果多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号.

22. 解析：(Ⅰ)证明：
、
、
、
四点共圆

．………………2分

且
,

,……………4分

．………………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得
,又
,

所以
与
相似,

，…………7分

又
,　　
，

根据割线定理得
，……………9分

．……………10分

23.

24．解：(1)由题意知，|x＋1|＋|x－2|>5，

则
或

或

解得x<－2或x>3.

∴函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．

(2)由对数函数的性质知，f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－m)≥1＝log22，不等式f(x)≥1等价于不等式|x＋1|＋|x－2|≥2＋m，

∵当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，而不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋2的解集是R，

∴m＋2≤3，故m的取值范围是(－∞，1]．

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