临川一中2015届高三年级高考模拟考试

数学试卷（文） 2015.5.29

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合
,集合
.则集合
（　　）[

A．
B．
C．
D．

2．
是z的共轭复数，若z+
=2，（z﹣
）i=2（i为虚数单位），则z=（　　）

A. 1+i B. ﹣1﹣i C. ﹣1+i D. 1﹣i

3．函数

的单调增区间为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001、002、……、699、700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是 ( )

33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42

84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 85 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04

32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45

A.607 B.328 C.253 D.007

5．若等轴双曲线经过点（2，1），则该双曲线的实轴长是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．数列
满足
，且
则
（ ）

A.9 B.10 C.11 D.12

7．执行下图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是 ( )

A．870 B．30 C．6 D．3

8.函数

的图象如下图，则（ ）

A.
B.

C.
D.

9．三棱锥的三视图如图，正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE=CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量
，则
的最小值为( )

A.
B.
C.
D. 2

11．如图，在棱长为
的正方体
内（含正方体表面）任取一点
，则
的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

12．已知函数
有两个极值点
，
，且
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．命题“
”的否定是

14．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东
距离为10海里的C处.此时得知.该渔船沿北偏东
方向.以每小时9海里的速度向一小岛靠近.舰艇时速21海里.则舰艇到达渔船的最短时间是________分钟.[学§科§

15．从抛物线y2= 4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且
，设抛物线的焦点为F，则△PMF的面积为 ．

16．已知函数
的图象与直线
有且只有一个交点，则实数
的取值范围是 ．

三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）若点
在角
的终边上，求
的值；

（Ⅱ）若
，求
的值域.

18．（本小题满分12分）

抛掷一枚质地不均匀的骰子，出现向上点数为1，2，3，4，5，6的概率依次记为
，
，经统计发现，数列
恰好构成等差数列，且
是
的3倍.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）甲、乙两人用这枚骰子玩游戏，并规定：掷一次骰子后，若向上点数为奇数，则甲获胜，否者乙获胜，请问这样的规则对甲、乙二人是否公平，请说明理由；

19.（本小题满分12分）

如图,直三棱柱
中，
平面
，其垂足
落在直线
上．
为
的中点

（1）求证：
∥平面A1PB

（2）若
，
，AC=2
，求三棱锥
的体积．

20.（本小题满分12分）

已知函数
，其中a∈R，

（Ⅰ）若a=0，求函数f（x）的定义域和极值；

（Ⅱ）当a=1时，试确定函数
的零点个数，并证明.

21.（本小题满分12分）

如图,
是椭圆
的左、右顶点,椭圆
的离心率为
,右准线
的方程为
.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）设
是椭圆
上异于
的一点,直线
交
于点
,以
为直径的圆记为圆K.

①若
恰好是椭圆
的上顶点,求圆K截直线
所得的弦长；

②设圆K与直线
交于点
,试证明:直线
与
轴的交点
为定点,并求该定点的坐标.

【选考题】

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分

22.（本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，D,E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合，已知AE的长为m，AC的长为n，AD,AB关于x的方程
的两个根.

（Ⅰ）证明：C、B、D、E四点共圆；

（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C、B、D、E所在圆的半径.

23.（本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

已知圆C的极坐标方程为
，直线l的参数方程为
（t为常数，t∈R）

（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）求直线l与圆C相交的弦长.

24.（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲

设函数
.

（Ⅰ）求函数y=f（x）的最小值．

（Ⅱ）若
恒成立，求实数a的取值范围.

数学试卷（文）参考答案

一．选择题

1C　 2D　 3B 4 B 5A 6D 7B 8A 9B 10 B 11D 12D

二．填空题

13．
14．40] 15．10 16．a>-2

三．解答题

17．（本小题满分12分）

，因为
，所以
，所以
，

所以
的值域是
.

（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，由
是
的
倍及概率的性质，有
，解
，故
． …………………………4分（Ⅱ）不公平，甲获胜的概率
，乙获胜的概
，

19.（本小题满分12分）

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）函数
的定义域为
且
， ………………2分

．令
，得
．当
变化时，
和
的变化情况如下：













－

－



＋





↘

↘

极小

↗



所以
的单调减区间为
，
；单调增区间
．故当
时，函数
有极小值
. （Ⅱ）结论：函数
存在两个零点．证明过程如下：由题意，函数
．

因为
．所以函数
的定义域为
．求导，得

，…………………… 7分

令
，得
，
，当
变化时，
和
的变化情况如下：



















—










↗

极大

↘

极小

↗





21.（本小题满分12分）

从而
截直线
所得的弦长为
9分

②证:设
,则直线
的方程为
,则点P的坐标为
,又直线
的斜率为
,而
,

22.（本小题满分10分)

根据题意在△
和△
中，
，即
．

又
，从而△
∽△
．因此
．所以
四点共圆．

（Ⅱ）
时，方程
的两根为
．故
，
．取
的中点
，
的中点
，分别过
作
的垂线，两垂线相交于
点，连结
．因为
四点共圆，所以
四点所在圆的圆心为
，半径为
，由于
，故
∥
，
∥
．从而
，
．故
四点所在圆的半径为
．

23.（本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

【解析】

由弦长公式得，弦长为
……………………………10分.

考点：1.参数方程化成普通方程；2.直线与圆的位置关系．

24.（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲

解：（Ⅰ）由题意得
，所以
在
上单调递减，

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