2015届翠园中学高三第三次模拟考试

文科数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知
，则下列表示正确的是

A.
B.
C.
D.

2．已知复数
，则

A. 2 B. －2 C.
D.

3．命题P：“对
”的否定
为

A.
B.

C.
D.

4．已知
，则

A.
B.
C.
D.

5. 若
，则下列不等式正确的是

A．
B．
C．
D．

6．设向量
，若向量
与向量
共线，则
的值为

A．
B．
C．
D．

7．图1中的三个直角三角形是一个体积为
的几何体的三视图，

则侧视图中的h为

A. 5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm 图1

8．已知变量
满足约束条件
，则
的最小值是

A.1 B.
C.
D.0

9．下表记录了某学生进入高三以来各次数学考试的成绩

考试第次

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



成绩（分）

65

78

85

87

88

99

90

94

93

102

105

116



将第1次到第12次的考试成绩依次记为
.图2是统计上表中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图,那么算法流程图输出的结果是

A.8 B.7 C.6 D.5

10．已知
，则关于
的不等式
的解集为
的概率为

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11－13题）

11．已知幂函数
的图象过点
，则
的值为 ．

12．以点
为圆心且与直线
相切的圆的标准方程是 ．

13．在△ABC中，已知角
所对的边分别为
，且
，则
= ．

（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系

中，曲线
与
的交点的极坐标为 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图3，点P在圆O的直径AB的

延长线上，且PB=OB=3,PC切圆O于C点，CD
AB于D点，

则CD的长为 ． 图3

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．(本小题满分12分)

已知函数

的部分图象如图4示，

其中M
为图象与
轴的交点，
为图象的最高点．

(1)求
、
的值；

(2)若
，
，求
的值． 图4

17．(本小题满分12分)

某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：（单位：分）

甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129；

乙：133，107，120，113，121，116，126，109，129，127.

（1）以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出以上抽取的甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，求出这20个数据的众数，并判断哪个班的平均水平较高；

（2）将这20名同学的成绩按下表分组，现从第一、二、三组中，采用分层抽样的方法抽取6名同学成绩作进一步的分析，求应从这三组中各抽取的人数．

组别

第一

第二

第三

第四



分值区间













18．(本小题满分14分)

已知等比数列
满足：
，
，
为其前
项和，且
成等差数列．

（1）求数列{
}的通项公式；

（2）设
，求数列{
}的前n项和
．

19．（本小题满分14分）

如图6，在三棱锥
中，侧面
与侧面
均

为等边三角形，
，
．

（1）证明：
；

（2）求三棱锥
的体积．

图6

20．(本小题满分14分)

已知椭圆
:
的焦点分别为
、
，
为椭圆
上任一点，
的最大值为1.

（1）求椭圆
的方程；

（2）已知点
，试探究是否存在直线
与椭圆
交于
、
两点，且使得
？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.

21．(本小题满分14分)

已知函数
，其中
为实数.

（1）当
时，求函数
在
上的最大值和最小值；

（2）求函数
的单调区间；

（3）若函数
的导函数
在
上有唯一的零点，求
的取值范围.

数学(文科)参考答案

一、选择题：CADAC ABCBD

二、填空题：11.
；12.
；13.
；14.
；15.
.

三、解答题：

16．解：（1）由
为图象的最高点知
，---------------------1分

又点M
知函数
的最小正周期
，-----------------------3分

∵
∴
,-------------------------------------------------5分

(2)由（1）知，

由
得
，----------------------------------------6分

∵
∴
----------------------------------------7分

∴
-------------------------9分

∵

-------------11分

∴

------------------------------------------------12分

17．解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：----4分

这20个数据的众数为121，----------------------------------5分

乙班的平均水平较高；----------------------------------------7分

（2）由上数据知，这20人中分值落在第一组的有3人，

落在第二组的有6人，落在第三组的有9人，-------------9分

故应从第一组中抽取的人数为：
，-------10分

应从第二组中抽取的人数为：
，--------------------------------11分

应从第三组中抽取的人数为：
.-----------------------------------12分

18．解：（1）设数列
的公比为
，

∵
成等差数列，
-----------------------------------2分

即
，化简得
，------4分

解得：
或
------------------------------------------------------------------6分

∵
，∴
不合舍去，

∴
.-----------------------------------------7分

(2)∵

=
---------------------9分

，----------------------------------------------------------------------------10分

∴
=
----------------------------------------------------------------12分

∴

.------------------------------------------14分

19．解：（1）证明：取BC中点D，连结SD、AD，-----2分

∵△SAB与△SAC均为等边三角形

∴SB=SC=AB=AC=SA=2，∴
,
-----4分

又
[:]

∴
平面
----------------------5分

∵
平面

∴
-------------------------------------------------7分

（2）∵
，AB=AC，

∴
，------------------------------------8分

∵SB=AB，SC=AC，BC=BC，

∴△SBC≌△ABC，∴
，-------------------------9分

∴

∵
∴
---------------------11分

又
,

∴
平面
,------------------------------------------12分

∴

.----------------14分

其它解法请参照给分.

20.解：(1)设
,由
、
得

,
.

∴

，---------------------2分

由
得

∴

，------------------------4分

∵
，∴当
，即
时，
有最大值，

即
，---------------------------------------6分

∴
，
，

∴所求椭圆
的方程为
.------------------------------------7分

其它解法请参照给分.

（2）假设存在直线
满足题设，设
，

将
代入
并整理得

，------------------------------------------------------------8分

由
，得
-----------①

又
--------------------10分

由
可得

化简得
------------②------------------------------------------12分

将②代入①得

化简得
，

解得
或

所以存在直线
，使得
，此时
的取值范围为
．-------14分

21.解：（1）当
时，
，---------------------------1分

则

，

令
，∵
得
----------------------------------2分

且
在
上单调递减，在
上单调递增，

∵
，

∴
在
上的最大值为97，最小值为
.------------------------4分

（2） ∵
=
，----------------5分

当
时，
，∴函数
的单调递增区间为
；---6分

当
时，
，由
解得
或
，由
得
，

∴函数
的单调递增区间为
和
，递减区间为
；----7分

当
时，
，由
解得
或
，由
得
，

∴函数
的单调递增区间为
和
；递减区间为
.-----9分

（3）由

得
，--------------------------------------------------10分

①当
时，有
，此时
，

函数
在
上有唯一的零点，∴
为所求；----------------------11分

②当
时，有
，此时
，

∵函数
在
上有唯一的零点，

得
，即
，解得
，-----------------12分

③当
时，有
，此时
，

∵函数
在
上有唯一的零点，

得
，即
，解得
，------------------13分

综上得实数
的取值范围为是：
或
或
.----------------14分

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