2015届翠园中学高三第三次模拟考试

理科数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设
是虚数单位，若
为纯虚数，则实数
的值为

A.
B. 2 C.
D.

2.设集合

A.
B.
C.
D.

3.已知
是偶函数，且

A.4 B.2 C.
D.

4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：

加工零件数
（个）

10

20

30

40

50



加工时间
（分钟）

64

69

75

82

90



经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数
与加工时间
这两个变量，下列判断正确的是

A．成正相关，其回归直线经过点（30，76）

B．成正相关，其回归直线经过点（30，75）

C．成负相关，其回归直线经过点（30，76）

D．成负相关，其回归直线经过点（30，75）

5．已知数列
满足: 当
时，
，则
的前
项和

6..已知直线
和平面
、
，则下列结论一定成立的是（ ）

A.若
，
，则
B.若
，
，则

C.若
，
，则
D.若
，
，则

7.若点
满足线性约束条件
点
，
为坐标原点，则
的最大值为

A.
B.
C.
D.

8.已知集合
，定义函数
，且点
，
，
，（其中
）.若△ABC的内切圆圆心为
，满足
，则满足条件的
有（　　）

A．10个 B．12个 C．18个 D． 24个

二、填空题（本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分。）

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9.不等式
的解集为 .

10. 已知向量
，
，则
________.

11已知双曲线
两条渐近线的夹角是
，则
．

12．设
是公比不为1的等比数列，其前n项和为
，若
成等差数列，则
.

13.设
,则

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题．

15.（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，直线

与曲线C:
相交于A、B两点，O为极点.则∠AOB的大小是 ．

14．（几何证明选讲选做题）如图，
、
是圆
上的两点，
，
是
弧的中点．延长
至
使得
，连接
，设圆
的半径
，则
的长是 ．

三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期；

（2）若
是第一象限角，且
，求
的值．

17.（本小题满分12分）

某市一所高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].

（Ⅰ）求直方图中
的值；

（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；

（Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为
，求
的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）

18.（本题满分14分）

如图1在
中，
，D、E分别为线段AB 、AC的中点，
．以
为折痕，将
折起到图2的位置，使平面
平面
，连接
，设F是
上的点．

（1）证明：平面
；

（2）若F是线段
上的中点，求二面角
的大小．

19、（本题满分14分）

数列{
}的前n项
，
=3且
=
（
N*）

（1）求

（2）
，数列{
}的前n项和是
，求证
<
.

20、（本题满分14分）

设
是圆
外的动点，过
的直线与圆
相切，切点为
，设切线
的斜率分别为
，且满足
．

（1）求点
的轨迹方程
；

（2）若动直线
均与
相切，且
，试探究在
轴上是否存在定点
，点
到
的距离之积恒为
？若存在，请求出点
坐标；若不存在，请说明理由．

21．（本小题共14分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数
成立，求
的取值范围；

（Ⅲ）若函数
有两个不同的极值点
，
，求证：
．

深圳市翠园中学高三模拟考试2015.5

数 学（理科）评分标准和参考答案

一、1.B2.D3.C4.A5.B 6.D7.D 8.C

二、
10. 2 11.1或3 12. 5 13.
14.
15.

16、（1）解：

…………………………1分

………………………2分

……………………3分

． …………………4分

∴ 函数
的最小正周期为
． ………………………5分

（2）

∵
， ∴
． …………………6分

∴
．

∴
． ………………………7分

∵
是第一象限角，

∴
． ……………………8分

∴
． ………………………9分

∴
………………………10分

………………………11分

． …………………12分

17.（本小题满分12分）

解（Ⅰ）由直方图可得：

．

所以
． …………3分

（Ⅱ）新生上学所需时间不少于
小时的频率为：

，

因为
，

所以1200名新生中有
名学生可以申请住宿． …………6分

（Ⅲ）
的可能取值为

由直方图可知，每位学生上学所需时间少于
分钟的概率为
，

,
,

,
,

． 10分

所以
的分布列为：

0

1

2

3

4


















．（或
）

所以
的数学期望为
． …………12分

18.解: 方法一：

（1）
平面
平面
,

∴
平面
∴

∴
………………………………2分

在直角三角形
中，

∴
得
………………………………4分

∴
，又

∴
………………………………7分

（2）以D为坐标原点，
分别为OX，OY，OZ轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别为D（0，0，0），
（0，0，2），B（2，0，0），C（2，
，0），E（0，
，0），F（1，
，1）. ………………………………9分

计算平面
的法向量
，………………………………11分

………………………………13分

所以，二面角
的大小是
………………………………14分

方法二：以D为坐标原点DB，DE，D
分别为OX，OY，OZ轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别为D（0，0，0），
（0，0，2），B（2，0，0），C（2，
，0），

E（0，
，0），F（1，
，1）.

（1）

∵
∴

∵
∴

又
，∴
平面

又
平面

所以平面

平面
…………………………………7分

（2）同方法一

19.解（1）当n≥2，
=
………1′

∴
=
-
=
-（
）

（n≥2） ………4′

令n=1

∴
………5′

∴{
}是前项
公比q=3的等比数列 ………6′ ∴
………7′

[或：
（n≥2）

∴{
}首项
，公比q=3的等比数列 ………………5分

………………… 6分

又n=1适合，∴
（n∈N*）] ………………… 7分

（2）由（1）
………8′

=
………11′
…12′

=
……13′

<
=
……14′

20.解：（1）设过
的切线方程是
，

即
------1分

由它和圆
相切得：
------2分

化简得：

由题意，上面方程的两个根为
，且
，

所以，
，即
------5分

∴
的方程为
．---------------------------------------------6分

（2）①当直线
斜率存在时，设其方程为

把
的方程代入椭圆方程得

∵直线
与椭圆
相切，∴
，化简得

-------------------------------------------------------------------------------------9分

同理，

∴
，若
，则
重合，不合题意，∴
-----------------------10分

设在
轴上存在点
，点
到直线
的距离之积为1，则

，即
，--------------------------------------11分

把
代入并去绝对值整理，

或者

前式对任意的k显然不恒成立；而要使得后式对任意的
恒成立

则
，解得
；----------------------------------------------------------------------13分

②当直线
斜率不存在时，其方程为
和
，

定点
到直线
的距离之积为
；

定点
到直线
的距离之积为
；

综上所述，满足题意的定点
为
或
--------------------------------------------14分

21.解：（Ⅰ）当
时，
，
．

由
，解得
，
．

当
时，
，
单调递增；

当
时，
，
单调递减；

当
时，
，
单调递增．

所以
的单调增区间为
，单调减区间为
．--------4分

（Ⅱ）依题意即求使函数
在
上不为单调函数的
的取值范围．

，设
，则
，