2015届高三第四次模拟考试试卷答案

数　　学

(满分160分，考试时间120分钟)

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）

已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|lg(2x＋1)＞0}，则M∩N＝ ▲ ．【答案】(0,1)

复数z＝为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ．【答案】1

某学校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ▲ ．【答案】8

执行如图所示流程图，得到的结果是 ▲ ．【答案】

已知双曲线(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，那么该双曲线的离心率为 ▲ ．【答案】

将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为 ▲ ．【答案】

函数f (x)＝＋a（x≠0），则“f (1)＝1”是“函数f (x)为奇函数”的 ▲ 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）．【答案】充要

若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 ▲ ．【答案】15π

已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．【答案】4 解：x＋2y＝8－x·(2y)≥8－2，整理得2＋4－32≥0，即≥0．又x＋2y＞0，∴x＋2y≥4．

函数y＝sinα·(sinα－cosα) (a∈[－,0])的最大值为 ▲ ．

【答案】+

已知△ABC是等边三角形，有一点D满足
＋
＝
，且|
|＝，那么
＝ ▲ ．【答案】3

已知函数f (x)＝，若
x1,x2∈R，x1≠x2，使得f (x1)＝f (x2)成立，则实数a的取值范围是 ▲ ． 【答案】(－∞,4)

已知函数f (x)满足f (x)＝f ()，当x∈[1,3]时，f (x)＝lnx，若在区间[,3]内，函数g(x)＝f (x)－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 ▲ ．【答案】,

各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有 ▲ 项．【答案】7解：＋a2＋a3＋···＋an＝＋＝＋(n－1)(a1＋n)＝＋(n－1)a1＋n(n－1)＝2＋n(n－1)－＝2＋≤33为了使得n尽量大，故2＝0，∴≤33∴(n－1)(3n＋1)≤132，当n＝6时，5×19＜132；当n＝7时，6×22＝132，故nmax＝7．【注】不易猜测：－3，－1，1，3，5，7，9．

二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（本小题满分14分）已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M，且与x轴两个相邻的交点的距离为π．（1）求f (x)的解析式；（2）在△ABC中，a＝13，f (A)＝，f (B)＝，求△ABC的面积．

解：（1）依题意知，T＝2π，∴ω＝1，∴f (x)＝sin(x＋φ) ………2分∵f ()＝sin(＋φ)＝，且0＜φ＜π ∴＜＋φ＜ ∴＋φ＝ 即φ＝ ……5分∴f (x)＝sin＝cosx． ………6分

注意：不写φ的范围，直接得φ的值扣1分，f (x)的解析式不化简不扣分．

（2）∵f (A)＝cosA＝，f (B)＝cosB＝， ∴A,B∈(0,)

∴sinA＝，sinB＝ ………8分∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝ ………10分∵在△ABC中＝ ∴b＝15. ………12分∴S△ABC＝absinC＝×13×15×＝84． ………14分

注意：其他解法参照给分

（本小题满分14分）

在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．

证明：(1)　记A1B∩AB1＝O，连接OD.

∵四边形AA1B1B为矩形，∴O是A1B的中点，

又∵D是BC的中点，∴A1C∥OD. ………2分

又∵A1C平面AB1D，OD?平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D. ………6分

注意：条件“A1C平面AB1D，OD?平面AB1D”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！

(2)∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，

∴AD⊥BC. ………8分

∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD?平面ABC，

∴AD⊥平面BB1C1C. 【或利用CC1⊥平面ABC证明AD⊥平面BB1C1C.】 ………10分

∵BM?平面BB1C1C，∴AD⊥BM. ………12分

又∵BM⊥B1D，AD∩B1D＝D，AD,B1D?平面AB1D，∴BM⊥平面AB1D.

又∵BM?平面ABM，∴平面AB1D⊥平面ABM． ………14分

（本小题满分15分）

如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（
），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．

解：(1)设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，

记⊙P、⊙Q的半径分别为rP、rQ．∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|＝80－rP，

∴＋rP＝80， ………4分∴rP＝ (0＜θ＜) ………6分(2)∵|PQ|＝rP＋rQ∴|OP|－|OQ|＝－＝rP＋rQ∴rQ＝ (0＜θ＜) ………10分法一：令t＝1＋sinθ∈(1,2)，∴rQ＝80·＝80令m＝∈（,1)，rQ＝80(－2m2＋3m－1) ∴m＝时，有最大值10． ………14分注意：换元不写范围扣1分

法二：∵≤＝∴sinθ(1－sinθ)≤ ∴rQ≤10．此时sinθ＝ ………14分

注意：不指出取等号的条件扣1分

法三：令t＝sinθ∈(0,1)，rQ＝，∴rQ?＝令rQ?＝0得：t＝，【列表略】故t＝时，⊙Q的半径的最大值为10．………14分

注意：不列表扣1分

答：⊙Q的半径的最大值为10． ………15分

注意：应用题不写答扣1分

（本小题满分15分）已知椭圆C：的离心率为，短轴长为4，F1、F2为椭圆左、右焦点，点B为下顶点．

（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P(x0, y0)是椭圆C上第一象限的点．

① 若M为线段BF1上一点，且满足＝·， 求直线OP的斜率； ② 设点O到直线PF1、PF2的距离分别为d1、d2， 求证：＋为定值，并求出该定值．

解：（1）由题意知，2b＝4，∴b＝2，又∵e＝＝，且a2＝b2＋c2，解得：a＝，c＝1，∴椭圆C的标准方程为＋＝1； ………4分（2）①由（1）知：B(0,－2)，F1(－1,0)，∴BF1：y＝－2x－2 ………5分

设M(t,－2t－2)，由＝·得： ………7分

代入椭圆方程得：＋6(t＋1)2＝1，∴36t2＋60t＋25＝0，∴(6t＋5)2＝0， ∴t＝－ ，∴M(－，－) ………9分∴OM的斜率为，即直线OP的斜率为； ………10分

【或】设直线OP的方程为
，由
，得
………6分

由
得
， ………8分

由＝·得
解得：
………10分

②由题意，PF1：y＝(x＋1)，即y0x－(x0＋1)y＋y0＝0 ………11分∴d1＝，同理可得：d2＝ ∴＋＝＋＝PF1＋PF2＝2a＝2 ………15分【或】∵S△OPF1＝PF1·d1＝OF1·y0，∴PF1·d1＝y0，∴＝PF1．同理在△OPF2中，有＝PF2．∴＋＝PF1＋PF2＝2a＝2． ………15分

（本小题满分16分）已知a为实数，函数f (x)＝a·lnx＋x2－4x．（1）是否存在实数a，使得f (x)在x＝1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g(x)＝2alnx＋x2－5x－，若存在x0∈[1, e]，使得f (x0)＜g(x0)成立，求实数a的取值范围．

解：（1）函数f (x)定义域为(0,＋∞)，f ?(x)＝＋2x－4＝假设存在实数a，使f (x)在x＝1处取极值，则f ?(1)＝0，∴a＝2， ………2分

此时，f ?(x)＝，∴当0＜x＜1时，f ?(x)＞0，f (x)递增；当x＞1时，f ?(x)＞0，f (x)递增．∴x＝1不是f (x)的极值点．故不存在实数a，使得f (x)在x＝1处取极值． ………4分（2）f ?(x)＝＝，①当a≥2时，∴f ?(x)≥0，∴f (x)在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分②当a＜2时，令f ?(x)＞0，则x＞1＋或x＜1－，∴f (x)在(1＋,＋∞)上递增，∵f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋＜3，解得：－6＜a＜2综上，a＞－6． ………10分

（3）法一：记F(x)＝x－lnx(x＞0)，∴F?(x)＝(x＞0)，∴当0＜x＜1时，F ?(x)＜0，F(x)递减；当x＞1时，F ?(x)＞0，F(x)递增．∴F(x)≥F(1)＝1＞0由f (x0)≤g(x0) 得：(x0－lnx0)a≥－2x0 ………12分

∴a≥，记G(x)＝，x∈[,e] ∴G?(x)＝＝∵x∈[,e]，∴2－2lnx＝2(1－lnx)≥0，∴x－2lnx＋2＞0∴x∈(,1)时，G?(x)＜0，G(x)递减；x∈(1,e)时，G?(x)＞0，G(x)递增∴G(x)min＝G(1)＝－1 ∴a≥G(x)min＝－1．故实数a的取值范围为[－1,＋∞)． ………16分

法二：记
，原题等价于：
，
，求a的范围.∵
,令

………12分（1）当
时,
∴
；（2）当
时，
，故
成立．故实数a的取值范围为[－1,＋∞)． ………16分

注意：其他解法酌情给分

（本小题满分16分）已知两个无穷数列
分别满足
，
，且
．（1）若数列
都为递增数列，求数列
的通项公式；（2）若数列
满足：存在唯一的正整数
，使得
，称数列
为“梦
数列”；设数列
的前
项和分别为
， ① 若数列
为“梦5数列”，求
；② 若
为“梦
数列”，
为“梦
数列”，是否存在正整数
，使得
，若存在，求出
的值及对应的
；若不存在，请说明理由．

解：（1）数列
都为递增数列，∴
，
，∴
，