理工附中热身练（理数）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，复数
的共轭复数对应的点位于

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

2．已知集合
，
，
且
，则

A．
B．
C．
D．

3．已知函数
，则“
”是“对任意
，都有
成立”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4．已知点P是
内一点，且
，则

A．
B．
C．
D．

5．各项都是正数的等比数列
中，
成等差数列，则

A．1 B．3 C．6 D．9

6．如图所示，元件
通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率为

A．0.729 B．0.8829 C．0.864 D．0.9891

7．当实数
满足
时，若存在
使得
成立，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整 数
的可能取值构成的集合为

A．
B．

C．
D．

9．已知函数
（
）满足：
，且在区间
内有最大值但没有最小值，给出下列四个命题：

：
在
上单调递减；

：
的最小正周期是
；

：
的图象关于直线
对称；

：
的图象关于点
对称．

其中的真命题是

A．
B．
C．
D．

10．双曲线

的右焦点是抛物线
的焦点，两曲线的一个公共交点为P，且
，则该双曲线的离心率为

A．
B．
C．2 D．

11．已知某斜三棱柱的三视图如图所示，则 该斜三棱柱的表面积是

A．

B．

C．

D．

12．已知在
中，
分别是
的对边，若过点C作垂直于AB的垂线CD，且
，则下列给出的关于
的不等式中正确的是

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．在
的展开式中，含
的项的系数是_________．（用数字作答）

14．若曲线
（
）与曲线
在它们的公共点
处具有公共切线，则
___________．

15．已知点F是椭圆C：
的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为
，则
的最大值为____________．

16．若球O是棱长为2的正方体
的内切球，P为球O的球面上的动点，M为
的中点，
，则点P的轨迹的周长是_________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在数列
中，
的前n项和为
，点
，
分别在函数
及函数
的图象上．

（1）求
的通项公式；

（2）令
，求数列
的前n项和
．

18．（本小题满分12分）

某企业有甲、乙两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在
的零件为优质品，从甲、乙两个分厂生产的零件中各抽取出500件，量其内径尺寸的结果如下表：

甲厂的零件内径尺寸：

分组

[29.86,

29.90)



29.94)

[29.94,

29.98)

[29.98,

30.02)

[30.02,

30.06)

[30.06,

30.10)

[30.10,

30.14)



频数

15

30

125

198

77

35

20



乙厂的零件内径尺寸：

分组

[29.86,

29.90)

[29.90,

29.94)

[29.94,

29.98)

[29.98,

30.02)

[30.02,

30.06)

[30.06,

30.10)

[30.10,

30.14)



频数

40

70

79

162

59

55

35



（1）由以上统计数据填下面
列联表，并问是否有
的把握认为“生产的零件是否为优质品与在不同分厂生产有关”：

甲厂

乙厂

合计



优质品









非优质品









合计









附表：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001





2.706

3.841

5.024

6.635

10.828





（2）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层），从乙厂中抽取5件零件，从这已知5件零件中任意抽取2件，将这2件零件中的优质品数记为X，求X的分布列及数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
的底面是边长为1的正方形，
⊥底面
，
、
分别为
、
的中点．

（1）求证：
∥平面
；

（2）若
，试问在线段
上是否存在点
，使得二面角
的余弦值为
？若存在，确定点
的位置；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

过点
和抛物线
焦点F的直线与抛物线相交于点B，且
．

（1）求抛物线的方程；

（2）M，N为抛物线上两点，O为原点，
，过M，N分别作抛物线的两条切线，相交于P点，求
面积的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知函数
，其中
．

（1）求函数
的单调区间；

（2）若
，且存在实数k，使得对任意的实数
，恒有
成立，求
的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知在半径为4的⊙O中，AB，CD是⊙O的两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM>MC．连接DE，DE=
．

（1）求证：
；

（2）求
的值．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

设平面直角坐标系的原点为O，直线
的方程为
（
为参数），以O为极点，x轴正方向为极轴正方向建立极坐标系，两坐标系的单位长度相等．动点
（
）且
．

（1）求直角坐标系下点M的轨迹C；

（2）求直线
被C截得的线段的长．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）若不等式
存在实数解，求实数
的取值范围．



欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org