岳阳市2015届高考信息卷（文数）

时量：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数
，
为虚数单位，则
= B

A．
B．
C．
D．

2．设集合
，则
B

A．
B．
C．
D．

3．若
为实数，则“
”是“
”的 A

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．设函数
和
分别为R上的奇函数和偶函数，则下列结论恒成立的是 D

A．
为奇函数 B．
为奇函数

C．
为偶函数 D．
为偶函数

5．已知等差数列
的公差
，且
，

则
的值为 C

A．
B．
C．
D．

6．执行如图1所示的程序框图，输出的s的值为 A

A．
B．
C．
D．

7．在钝角

中,若
，
，

且
,则
D

A．
B．
C．
D．

8．已知某几何体的三视图都是全等的等腰直角三角形，直角边长为1，如图2所示，

则该几何体的表面积是 A

A．
B．

C．
D．

9．已知抛物线的方程为
，过其焦点
的直线

与抛物线交于
、
两点，且
，
为坐标原点，

则
的面积和
的面积之比为 D

A．
B．
C．
D．

10．在
中，点
满足
，当
点在线段
上移动时，

若
，则
的最小值是 C

A．
B．
C．
D．

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

11．某校有老师320人，男学生2200人，女学生1800人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为
的样本；已知从女学生中抽取的人数为45人，则
= 108　　 ．

12．在极坐标系中，已知直线
过圆
的圆心，则
=__1_________．

13．已知⊙
的半径为4，在圆
内任取一点
，则点
到圆心
的距离大于1且小于2的概率为__3/16____________

14．设
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为4，则
的最小值为 12

15．已知函数
满足
，且
时，
，则当
时，
与
的图象的交点的个数为 9 .

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）已知函数
的最小值为
,且图象上相邻两个最高点的距离为
．

（Ⅰ）求
和
的值；

（Ⅱ）若
，求
的值．

解：（Ⅰ）函数
，所以
……………………………………3分

又由已知函数
的最小正周期为
，所以
，
……………6分

（Ⅱ）有（Ⅰ）得
，所以

，
，

……………………………………………8分
, ……10分

………………………………………………………12分

17．（本小题满分12分）省教育厅为了解该省高中学校办学行为规范情况，从该省高中学校中随机抽取100所进行评估，并依据得分（最低60分，最高100分，可以是小数）将其分别评定为A、B、C、D四个等级，现将抽取的100所各学校的评估结果统计如下表：

评估得分

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100



评定等级

D

C

B

A



频率

m

0.62

0.32

2m



（Ⅰ）求根据上表求m的值并估计这100所学校评估得分的平均数；

（Ⅱ）从评定等级为D和A的学校中，任意抽取2所，求抽取的两所学校等级相同的概率.

解（Ⅰ）由上表知：

…………………………… ……………………………2分

设
所学校评估得分的平均数为
，则

分. …………………5分

（Ⅱ）由（1）知等级为A的学校有4所记作：
；等级为
的学校有
所记作：
从
中 任取两所学校取法有
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
共
种. …………………………………………………9分

记事件
为”从
中任取两所学校其等级相同”，则事件
包含的基本事件有
、
、
、
、
、
、
共
个

故

.……………………………………………………………………………12分

18．（本题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形
为平行四边形，
，
，
，点
在
上，
．

（Ⅰ）证明：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）若二面角
的大小为
，求异面直线
与
所成角的大小．



【解析】（Ⅰ）∵
，
，
，

∴
，
，∴
，

∵
，∴
，

∵
平面
，∴
，又∵
，

∴
平面
，∵
平面
，∴
，

∵
，又∵
，

∴
平面
，

又∵
平面

∴平面
⊥平面
. ………………………6分

（Ⅱ）如图，以
为原点，
，
，
所在射线分别为x，y，z轴的正半轴，

建立空间直角坐标系A－xyz，设
，
，
，
，
，
（
）.

∵
，
，
，∴
平面
，

∴平面
的一个法向量为
.

∵
，∴
.设
，

∴
，

∴
.

设平面
的一个法向量为
，∵
，
，

∴
，令
，得
.

∵二面角
的大小为
，

∴
，解得
.

∴在
中，
，
，∴
.

∵
，∴异面直线
与
所成角为
，

∴异面直线
与
所成角的大小为
……………………………12分

19. (本小题满分13分)

某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第
个月的利润函数
（单位：万元）．为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第
个月的利润率为

，例如
．

（Ⅰ）求
；及第
个月的当月利润率；

（Ⅱ）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．

【解析】（Ⅰ）依题意得
，

． ………………………3分

当
时，
．

当
时，
，则

，

而
也符合上式，故当
时，
．

当
时，

，

∴，第
个月的当月利润率为
．……………………8分

（Ⅱ）当
时，
是减函数，此时
的最大值为
．

当
时，
，

当且仅当
，即
时，
有最大值为
．

，
当
时，
有最大值为