绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试黄冈中学适应性考试

数 学（理工类）

本试卷共6页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

4．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并上交．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数
，（其中
为虚数单位），则
（ ）

A．1 B．
C．2 D．

2．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即
，试卷满分
分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总人数的
，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（ ）

A．400 B．500 C．600 D．800

3．下列判断中正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”是真命题

B．“
”是“
”的必要不充分条件

C．若非空集合
满足
，且
不是
的子集，则“
”是“
”的充分不必要条件

D． 命题“
”的否定是“
”

4.已知数列
的首项为
，且满足对任意的
，都有
成立，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 公元前
世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（
）与它的直径（
）的立方成正比”，此即
，欧几里得未给出
的值.
世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式
中的常数
称为“立圆率”或“玉积率”.类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式
求体积（在等边圆柱中，
表示底面圆的直径；在正方体中，
表示棱长）.假设运用此体积公式求得球（直径为
）、等边圆柱（底面圆的直径为
）、正方体（棱长为
）的“玉积率”分别为
、
、
，那么
（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 已知结论：“在
中，各边和它所对角的正弦比相等，即
”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在三棱锥
中，侧棱
与平面
、平面
所成的角为
、
，则有（ ）”

A.
B.

C.
D.

7．把函数
的图像向右平移
个单位后得到函数
的图像，则
与
的图像所围成的面积为（ ）

A．1 B．
C．
D．2

8.设不等式组
表示的平面区域为
，不等式组
表示的平面区域为
.在
内随机取一个点，这个点在
内的概率的最大值为（ ）

A.
B.
C.
D.

9．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边
上有10个不同的点
，记
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知抛物线

，过定点
作垂直于
轴的直线交抛物线于点
、
，若
为抛物线
上不同于
、
的任意一点，若直线
、
的斜率都存在并记为
、
，则
（ ）

A.
B.1 C.
D.

二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

（一） 必考题（11—14题）

11．二项式
的展开式中的常数项为 ．

12．如下图，如果执行程序框图，输入正整数
，那么输出的
等于 ．

13．棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则
的最小值为 ．

第12题图 第13题图

14．设定义域为
的函数
，若关于
的函数
有8个不同的零点，则实数
的取值范围是 ．

(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）

15．（选修4—1：几何证明选讲）如图,在圆
中,直径
与弦
垂直，垂足为
，
，垂足为
，若
，
，则
________．

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
，（
为参数），以原点
为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．设
为曲线
上的动点，则点
到
上点的距离的最小值为_________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本题满分12分）已知
的最小正周期为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）在
中，角
所对应的边分别为
，若有
，则求角
的大小以及
的取值范围.

18. （本题满分12分）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数
，其中
的各位数字中
，
出现0的概率为
，
出现1的概率为
，记
.当启动仪器一次时，

（Ⅰ）求
的概率；

（Ⅱ）求随机变量
的分布列及
的数学期望，并指出当
为何值时，其概率最大.

19. （本题满分12分）如图，三角形
和梯形
所在的平面互相垂直，
，
，
是线段
上一点，
.

（Ⅰ）当
时，求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的正弦值；

（Ⅲ）是否存在点
满足
平面
？并说明理由.

20. （本题满分12分）若数列
满足：
（
为常数，
），则称
为调和数列.已知数列
为调和数列，且
，
.

（Ⅰ）求数列
的通项
；

（Ⅱ）数列
的前
项和为
，是否存在正整数
，使得
？若存在，求出
的取值集合；若不存在，请说明理由.

21. （本题满分13分）已知椭圆
的左右焦点分别为
，点
为短轴的一个端点，
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）如图，过右焦点
，且斜率为
的直线
与椭圆
相交于
两点，
为椭圆的右顶点，直线
分别交直线
于点
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
．试问
是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

22. （本题满分14分）定义：若
在
上为增函数，则称
为“
次比增函数”，其中
，已知
.（其中
）

（Ⅰ）若
是“1次比增函数”，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）当
时，求函数
在
上的最小值；

（Ⅲ）求证：
.

2015年黄冈中学适应性考试数学理科解析

1.B 解析：
，
，
.

2.A 解析：
，
，

，
.

3.D 解析：对于A选项中，当
时，不正确；，对于B选项，应为充分不必要条件，对于C选项，应为必要不充分条件.

4. B 解析：

，
.

5.D 解析：
；

；
；

故

6.C 解析：分别过
、
作平面
、平面
的垂线，垂足分别为
、
，则

，
，

，又
，即
.

7.D 解析：函数
的图像向右平移
个单位后得到函数
，令
解得
或
，故
.

8.B 解析：集合
表示圆心为原点，半径为1的位于
轴上方的半圆，面积为
，而集合
表示集合
上位于第一象限内的点作两坐标轴的平行线所围成的矩形的面积，即
，当
，即
时，
的面积最大，最大值为
，故点在
内的概率的最大值为
.

9.C 解析：
，

.

10.C 解析：取特殊点
，
，则