2015年“四地六校”高三围题

理科数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、已知点
是
终边上一点，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

3、设
，
，
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

4、函数
的图象大致是（ ）

5、下列命题，正确的是（ ）

A．
，使得
的否定是：
，均有
．

B．若
,则
的否命题是：若
，则
．

C．已知
，则
是
成立的必要不充分条件．

D．若
，则
的逆否命题是真命题．

6．一个用流程图表示的算法如图所示，

则其运行后输出的结果为 ( )

A．132 B．11880

C．1320 D． 以上都不对

7．
的展开式中，含
的正整数次幂的项共有 ( )

A．2项 B．3项 C．4项 D．6项

8、在平行四边形
中，
与
交于点
是线段
的中点，
的延长线与
交于点
．若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

9、函数
的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是

Ａ.
B.
C.
D.

10、已知函数
满足
,当
时,
,若在区间
内,函数
有
个零点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分，只填结果，不要过程）

11、已知等差数列
则
．

12、
=

13．如图是某四棱锥的三视图，则该棱锥的体积是

14、若向量
，
满足
，
，且
，则
与
的夹角为

15、给出定义：若
(其中
为整数)，则
叫做离实数
最近的整数，记作
，即
. 在此基础上给出下列关于函数
的四个命题：

①
的定义域是
，值域是
；

②点
是
的图像的对称中心，其中
；

③函数
的最小正周期为
；

④ 函数
在
上是增函数．

则上述命题中真命题的序号是

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。

16、（本小题13分）某中学在高一开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课。对于该年级的甲、乙、丙3名学生，回答下面的问题：

（1）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；

（2）某一选修课被这3名学生选修的人数的数学期望．

17、（本小题满分13分）已知函数
（
）.

（Ⅰ）求
在
内的单调递增区间；

（Ⅱ）在
中，
为锐角，且
，
，
是
边上一点，
，试求
的最大值．

18、（本小题满分13分）如图，
为圆
的直径，点
、
在圆
上，矩形
所在的平面和圆
所在的平面互相垂直，且
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
,求二面角的
的余弦值大小.

19、（本小题满分13分）设非零平面向量
，
，记
为向量
、
的夹角，规定
。若
是椭圆

的左、右焦点，点
分别是椭圆的上顶点、右顶点，且
，离心率

（I）求椭圆
的方程；

（II）过点
的直线交椭圆
于点
，求
的取值范围。

20、（本题满分14分）已知函数
．

(Ⅰ)若
在
上的最大值为
，求实数
的值；

(Ⅱ)若对任意
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；

(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，设
，对任意给定的正实数
，曲线
上是否存在两点
，使得
是以
（
为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在
轴上？请说明理由．

21、本题设有(1),(2),(3)三个选考题,每题7分,请任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.

(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换

设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标保持不变的伸缩变换.

(Ⅰ)求矩阵M；

(Ⅱ)求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.

(2) (本小题满分7分)选修4-4 参数方程与极坐标

过P(2,0)作倾斜角为α的直线l与曲线E：(θ为参数)交于A,B两点.

(Ⅰ)求曲线E的普通方程及l的参数方程；

(Ⅱ)求sinα的取值范围.

(3)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲

(Ⅰ)试证明柯西不等式：(a2+b2)(x2+y2)
(ax+by)2(a,b,x,y
R)；

(Ⅱ)若x2+y2=2且|x|
|y|,求+的最小值.

2015年“四地六校”高三围题

理科数学参考答案

1C2A3C4B5B6C7B8C9D10C 11、10 12、
13、
14、135
15、①③

16、(1) 3名学生选择的选修课互不相同的概率:
;--------------4分

(2)设某一选修课被这3名学生选择的人数为
,则
--------------5分

,；
,------------8分

,；
.---------------10分

所以
的分布列为

0

1

2

3
















-------------------12分

某一选修课被这3名学生选修的人数的数学期望为
．-------------------13分

17、（Ⅰ）

. ……………2分

由
，得
（
）. ……………3分

取
，得
，又
，则
；…………………4分

取
，得
，又
，则
.…………………5分

∴
在
上的单调递增区间是
，
.…………………6分

（Ⅱ）由
得
.又
，则
，从而

，∴
.…………………………………………………8分

由
知
是正三角形，
，∴
，

在
中，由正弦定理，得
，即
.

∵
是
边上一点，∴
，∴
，知
.

当
时，
取得最大值8. …………………13分

【另解】在
中，由正弦定理，得
，∴
，

，则

．∵
，∴
，
，

当
，即
时，
取得最大值8. …………………13分

18（Ⅰ）证明：平面

平面
，
,

平面

平面
，
平面
，

∵AF
平面
，∴
， ……………　3分

又
为圆
的直径，∴
，且

∴
平面
………5分

（II）利用图形对称性，可取
,以
为坐标原点,分别以
为
的正方向建立空间直角坐标系
.……6分

∴
,

求得平面
的法向量
（向内），……9分

平面
的法向量
（向外）……10分

设二面角的
的大小为
，则
……12分

所以二面角的
的余弦值大小
……13分

19．解：(1)由题可知：
，由
得，
，又∵
，∴解得
，故椭圆的标准方程为：
……4分

(2)当直线为
轴时，∵
……5分

当直线不为
轴时，∵
，由题可设直线
的方程为：
，设
，由
消去
得，
…7分，∴

∴
=
(10分)

令
得，
，令
，则
时，

，故
在
上单调递增，∴
，即可得
，…12分

综上所述，
的取值范围是
…………13分

20、 解：（Ⅰ）由
，得
，

令
，得
或
．

当
变化时，
及
的变化如下表：