2015年“四地六校”高三围题

文科数学试卷

一、选择题（有且只有一个答案正确每小题5分，共60分）

1．复数
在复平面内所对应的点在（ ）

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

2．已知全集
，集合
，
，则
=

（A）
（B）
（C）
（D）

3．已知
是第二象限角，
，则sin2
=（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4. 坐标平面内过点P（2，1）且与圆
相切的直线（ ）

（A）有两条 （B）有且仅有一条 （C）不存在 （D）不能确定

5. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x(万元)

3

4

5

6



销售额y(万元)

25

30

40

45



根据上表可得回归方程
,其中
为7，据此模型,若广告费用为10万元，预报销售额等于（ ）

. 42.0万元
．57.0万元
．66.5万元
．73.5万元

6.函数
在区间
上的零点个数（ ）

A．1 B． 2 C．3 D．4

7.已知等差数列
的前
项和为
，则使得
最大的序号
的值为

A．7 B．8 C．7或8 D．8或9

8.若
,则
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

9.一个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是

10.下列命题中，错误的是（ ）

A. 平行于同一平面的两个不同平面平行

B. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一 个平面相交

C.若直线
与平面
相交但不垂直，则经过该直线
有且只有一个平面
与
垂直

D.若直线
不平行平面
，则在平面
内不存在与
平行的直线

11.右图是用模拟方法估计圆周率
的程序框图，
表示

估计结果，则图中空白框内应填入 （ ）

A．
B．
C．
D．

12．定义一：对于一个函数
，若存在两条距离为
的直线
和
，使得在
时，
恒成立，则称函数
在
内有一个宽度为
的平行道.

定义二：若一个函数
，对于任意给定的正数
，都存在一个实数
，使得函数
在
内有一个宽度为
的平行道，则称
在正无穷处有永恒平行道.

下列函数①
,②
，③
，④
，

其中在正无穷处有永恒平行道的函数的个数为（ ）

A. 1 B.2 C. 3 D.4

二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）

13. 曲线
在
处的切线方程为 .

14．已知l是双曲线
的一条渐近线，F为双曲线的右焦点，则F点到直线l的距离为 。

15. 若实数
满足
，则
的最小值是 .

16、(1)两点等分单位圆时，有相应关系为：

（2）三点等分单位圆时，有相应关系为：

由此可以推知四等分单位圆时的相应关系为：

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分12分）

为征求个人所得税法修改建议，某机构对当地居民的月收入调查10000人，根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）），因操作人员不慎，未标出第五组顶部对应的纵轴数据。

（Ⅰ）请你补上第五组顶部对应的纵轴数据，并求居民月收

入在[3000，4000）的频率；

（Ⅱ）根据频率分布直方图估算样本数据的中位数；

（Ⅲ）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人

中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应

抽多少人?

18．(本小题满分12分)已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，

且∠DAB＝60°，AD＝AA1=a,F为棱BB1的中点.

(1)求证：直线BD∥平面AFC1；

(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1；．

（3）求三棱锥A1－AC1F的体积.

19．（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和为
，且
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
， 求数列
的前
项和
．

20．(本小题满分12分)

向量m＝(sin ωx＋cos ωx，cos ωx)(ω>0)，n＝(cos ωx－sin ωx,2sin ωx)，(ω>0)

函数f(x)＝
m·n＋t（t∈R）,若f(x)图象上相邻两个对称轴间的距离为
，且当x∈[0，π]时，函数f(x)[的最大值为3.

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)在△ABC中，若f(C)＝3，且2sin2C＝cos B＋cos(A－C)，试判断△ABC的形状(要求写出推导过程).

21. (本小题满分12分）

过
轴上动点
，引抛物线
的两条切线
、
，切点分别为
、
.

（Ⅰ）若
，求直线
的方程；

（Ⅱ）探究直线
是否经过定点，若有，请求出定点的坐标; 否则，请说明理由；

22．（本小题满分14分）

已知二次函数
，函数
的图象过原点且关于y轴对称，记函数
。

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）当
，求函数
的单调区间；

（Ⅲ）试研究函数
的图像上垂直于
轴的切线的存在情况。

2015年“四地六校”高三围题

文科数学参考答案

一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

C

A

D

B

C

D

B

D

D

C



二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13.
14.415.
16.

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.解：（1）第五组顶部对应的纵轴数据为：0.0003

居民收入在
的频率为
………4分

（2）第一组和第二组的频率之和为(0.0002+0.0004)
500=0.3

第三组的频率为0.0005
500=0.25

因此，可以估算样本数据的中位数为
（元） ……8分

（3）第四组的人数为0.0005
500
10000=2500

因此月收入在
的这段应抽
（人）……………12分

18(1)证明：延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.因为F是BB1的中点，所以F为C1N的中点，B为CN的中点．设M是线段AC1的中点，连结MF，则MF∥AN. …………………2分

∵B为CN的中点，四边形ABCD是菱形，∴AD∥NB且AD=NB,

四边形ANCD是平行四边形，AN∥BD， …3分

∴MF∥BD又∵MF?平面ABCD， BD?平面ABCD，

∴BD∥平面AFC1； ………4分

(2)证明：(如上图)连结BD，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，可知：A1A⊥平面ABCD，

又∵BD?平面ABCD，∴A1A⊥BD.

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD. 又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A?平面ACC1A1，

∴BD⊥平面ACC1A1. ………………………………7分

而NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.

又∵NA?平面AFC1 ∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.[:………9分

(3)解：由(2)知BD⊥平面ACC1A1，MF∥BD, ∴MF⊥平面AC1A1. ……10分

∵∠DAB＝60°，AD＝AA1=a,

∴三棱锥A1－AC1F的体积
……12分

19．解：（Ⅰ）
，
，

，两式相减，得

数列
为等比数列，
． ………6分

（Ⅱ）
． 令
， ……………8分

故

………10分

……12分

20.解：(1)f(x)＝
m·m＋t＝
(cos2ωx－sin2ωx＋2cos ωx·sin ωx)＋t

＝
(cos 2ωx＋sin 2ωx)＋t＝2sin(2ωx＋
)＋t. ……………2分

依题意f(x)的周期T＝2π，且ω>0，∴T＝＝＝2π. ……………………3分

∴ω＝
，∴f(x)＝2sin
＋t.∵x∈[0，π]，∴
，

∴
sin
≤1，…………4分∴f(x)的最大值为t＋2，即t＋2＝3，

∴t＝1.∴f(x)＝2sin
＋1. …………………6分

(2)∵f(C)＝2sin
＋1=3，∴sin
＝1.

又∵∠C∈(0，π)，∴∠C＝
, …………………8分

在△ABC中，∵A＋B＝
，2sin2C＝cosB＋cos(A－C)，

∴
＝
解得sinA＝
.……10分

又∵∠C＝
,,∴ ∠A＝
,所以△ABC是等腰直角三角形………………12分.

21．（Ⅰ）
------1分不妨设
，
，

，
-------3分

，

-----------6分

（Ⅱ）、（先猜后证）令
，依（Ⅰ）步骤可求得直线

联立
得交点（0，6），故猜测直线
过定点（0，6）-----7分

证明如下：

过
的直线方程为

，

，

，即
，
------9分

设
，

令
，
，即直线
过定点（0，6）-12分

22、（1）

--------3分

（2）当
，

=
-------------------------------5分

由题意，当
令
：
，解得：


时
，

同理可得

时
，

--------------8分

(3)函数
的图像上存在垂直于
轴的切线，即方程
0存在正根，-----9分

=

即方程
------------（*）存在正根-------------------10分

①
，方程*无解，

此时函数
的图像上不存在平行或重合于x轴的切线；

②
，方程*的解为
，存在一条满足条件的切线；

③

（ⅰ）
方程*有两个不等的正根，存在两条满足条件的切线；

（ⅱ）若
，方程*有且仅有一正根，存在一条满足条件的切线；

综上：
不存在满足条件的切线；

存在一条满足条件的切线；

存在两条满足条件的切线；------14分

2015年“四地六校”高三围题

文科数学答题卡

（考试时间：120分钟 总分：150分）

命题人：华安一中 刘锦明

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分



题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案





























二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13． 14．

15． 16．

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.（本小题满分12分）

18.(本小题满分12分)

19.(本小题满分12分)

20