甘肃省天水市秦安县第二中学2015届高三级最后一摸

理科数学试题

说明：

一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．

三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．

四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

（1）设集合
，
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

（2）若复数
（
为虚数单位）是纯虚数，则实数
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

（3）已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤2)＝0.72，则P(X≤0)＝（A）0.22 （B）0.28（C）0.36 （D）0.64

（4）执行右面的程序框图，若输出的k＝2，则输入x的取值范围是（A）(21，41) （B）[21，41]（C）(21，41] （D）[21，41)

（5）已知等比数列{an}的前n项和为Sn， a1＋a3＝，且a2＋a4＝，则＝（A）4n－1 （B）4n－1（C）2n－1 （D）2n－1

（6）过双曲线－＝1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（A） （B）2 （C） （D）

（7）已知函数f(x)＝cos(2x＋)，g(x)＝sin(2x＋)，将f(x)的图象经过下列哪种变换可以与g(x)的图象重合（A）向左平移 （B）向右平移 （C）向左平移 （D）向右平移

（8）若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）

A．
B．
C．
D．



（9）已知向量a=（1, 2），b=（2,3）若（c+a）∥b，c⊥（b+a），则c=

（A）（，） （B）（，）（C）（，） （D）（－，－）

（10）已知半圆的直径
，
为圆心，
为半圆上不同于
的任意一点，若
为半径
上的动点，则
的最小值是（ ）

Ａ．
? Ｂ.
Ｃ．
Ｄ.

（11）函数，其图像的对称中心是

（A）（－1，1） （B）（1，－1）（C）（0，1） （D）（0，－1）

（12）关于曲线C：x＋y＝1，给出下列四个命题：①曲线C有且仅有一条对称轴； ②曲线C的长度l满足l＞；

③曲线C上的点到原点距离的最小值为；

④曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是上述命题中，真命题的个数是（A）4 （B）3（C）2 （D）1

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

11.复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是

12.若变量
满足约束条件
,则
的最大值是 5/3

13．

展开式中
项的系数490,则实数
的值为 .

答案：

14.已知正项
，奇数项成公差为1的等差数列，当n为偶数时点
等于

答案：

（16）△ABC的顶点A在y2＝4x上，B，C两点在直线x－2y+5=0上，若|
－
|＝2，则△ABC面积的最小值为_____．

三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a≥b，sinA＋cosA＝2sinB．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求的最大值．

（18）（本小题满分12分）

4月10日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求频率分布直方图中
的值,试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；

（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；

（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为
，求
的分布列及数学期望．

（注：频率可以视为相应的概率）

（19）（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60?，AB⊥B1C．

（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥BB1C1C；

（Ⅱ）求二面角B-AC-A1的余弦值．

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）经过点M(－2，－1)，离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值；

（Ⅲ）∠PMQ能否为直角？证明你的结论．

（21）（本小题满分12分）

已知函数 x轴是函数图象的一条切线．

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）已知；

（Ⅲ）已知：

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．

（Ⅰ）求证：DE∥AB；

（Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2．

（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcos(θ＋)＝距离的最大值．

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设f(x)＝|x－3|＋|x－4|．

（Ⅰ）解不等式f(x)≤2；

（Ⅱ）若存在实数x满足f(x)≤ax－1，试求实数a的取值范围．

理科数学答案

一、选择题：

CABCD ABDCD BA

二、填空题：

（13）－1－i； （14） 5/3； （15）
； （16）1．

三、解答题：

（17）解：（Ⅰ）

sinA＋cosA＝2sinB即2sin(A＋)＝2sinB，则sin(A＋)＝sinB． …3分

因为0＜A，B＜?，又a≥b进而A≥B，

所以A＋＝?－B，故A＋B＝，C＝． ……………………………6分

（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得

＝＝[sinA＋sin(A＋)]＝sinA＋cosA＝2sin(A＋)．…10分

当A＝时，取最大值2． ……………………………12分

（18）解：（Ⅰ）
,

,∴
, ……………………… 2分

估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：

……… 4分

（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A．

答：被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4． ……………… 6分

（Ⅲ）由（2）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为
，

X可能的取值是0，1，2，3．

；

；

；

．

的分布列为：

0

1

2

3















 ………………11分

所以
． ……… 12分

（或
，所以
．）

（19）解：

（Ⅰ）由侧面ABB1A1为正方形，知AB⊥BB1．

又AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以AB⊥平面BB1C1C，

又AB?平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥BB1C1C．…………………………4分



（Ⅱ）建立如图所示的坐标系O-xyz．

其中O是BB1的中点，Ox∥AB，OB1为y轴，OC为z轴．

设AB＝2，则A(2，－1，0)，B(0，－1，0)，C(0，0，)，A1(2，1，0)．

＝(－2，0，0)，＝(－2，1，)，＝(0，2，0)． …6分

设n1＝(x1，y1，z1)为面ABC的法向量，则n1·＝0，n1·＝0，

即取z1＝－1，得n1＝(0，，－1)． …8分

设n2＝(x2，y2，z2)为面ACA1的法向量，则n2·＝0，n2·＝0，

即取x2＝，得n2＝(，0，2)． …………………10分

所以cos?n1，n2?＝＝－．

因此二面角B-AC-A1的余弦值为－． ……………………………12分

（20）解：

（Ⅰ）由题设，得＋＝1， ①

且＝， ②

由①、②解得a2＝6，b2＝3，

椭圆C的方程为＋＝1． …………………………………………………3分

（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．

设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得

(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，

－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，x1＝．

设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，

同理得x2＝．………………………………………………………6分

因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，

故kPQ＝＝＝＝＝1，来源学高考

因此直线PQ的斜率为定值． ……………………………………………………9分来源

（Ⅲ）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，

假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，k＝±1．

若k＝1，则直线MQ方程y＋1＝－(x＋2)，

与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0，

该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；

同理，若k＝－1也不合题意．

故∠PMQ不可能为直角．…………………………………………………………12分

（21）解：（Ⅰ）f?(x) =

当x∈(0，a)时，f?(x)＜0，f(x)单调递减，

当x∈(a，＋∞)时，f?(x)＞0，f(x)单调递增．

∵ x轴是函数图象的一条切线，∴切点为（a，0）．

f(a)=lna＋1=0，可知a=1. ……………………………4分

（Ⅱ）令1＋，由x>0得知t>1，，于是原不等式等价于：

.

取，由（Ⅰ）知：

当t∈(0，1)时，g?(t)＜0，g(t)单调递减，

当t∈(1，＋∞)时，g?(t)＞0，g(t)单调递增．

∴ g (t)> g (1)=0，也就是.

∴ . ……………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：x是正整数时，不等式也成立，可以令：

x=1，2，3，…，n-1，将所得各不等式两边相加，得：

即. ……………………………12分

（22）证明：

（Ⅰ）连接OE，因为D为的中点，E为BC的中点，所以OED三点共线．

因为E为BC的中点且O为AC的中点，所以OE∥AB，故DE∥AB． ………………………… …5分

（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD＝∠DAC，又∠BAD＝∠DCB?∠DAC＝∠DCB．

又因为AD⊥DC，DE⊥CE?△DAC∽△ECD．

?＝?AD·CD＝AC·CE

? 2AD·CD＝AC·2CE

? 2AD·CD＝AC·BC． ……………………………10分

（23）解：

（Ⅰ）设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有

ρ1sinθ＝2，ρρ1＝4． ……………………………3分

消去ρ1，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ． ……………………………5分

（Ⅱ）将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得

C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2． ……………………………7分

C2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C3的距离d＝，

故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1＋． ……………………………10分

（24）解：

（Ⅰ）f(x)＝|x－3|＋|x－4|＝ ……………………………2分

作函数y＝f(x)的图象，它与直线y＝2交点的横坐标为和，由图象知

不等式f(x)≤2的解集为[，]． ……………………………5分



（Ⅱ）函数y＝ax－1的图象是过点(0，－1)的直线．

当且仅当函数y＝f(x)与直线y＝ax－1有公共点时，存在题设的x．

由图象知，a取值范围为(－∞，－2)∪[，＋∞)． ………………………10分

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