兰州一中2015届高三第三次模拟考试

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

注意事项：

1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座位号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置．

2．答题时，考生需用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={x||x -
|≤
}，B={x|y=lg(4x-x2)}，则A∩B等于

A．(0，2] B．[-1，0) C．[2，4) D．[1，4)

2．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，那么复数
对应的点位于复平面内的

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．已知函数f(x)=cos(2x-
)，若存在a((0，()，使得f(x+a)=f(x-a)恒成立，则a的值是

A．
B．
C．
D．

4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若Sn=
，Sm=
(m≠n)，则Sm+n-4的符号是

A．正 B．负 C．非负 D．非正

5．从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为

A．
B．
C．
D．

6．设f(x)=(1+x)6(1-x)5，则导函数f ′(x)中x2的系数是

A．0 B．15 C．12 D．-15

7．设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，若OA⊥OB，则△OAB的面积为

A．1　　　 B．
　　 C．
　　　　　 D．2

8．某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为

A．
B．

C．
D．

9．下图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是

A．n>2 B．n>3 C．n>4 D．n>5

10．已知双曲线
(a>0，b>0)，被方向向量为k=(6，6)的直线截得的弦的中点为(4，1)，则该双曲线离心率的值是

A．
B．
C．
D．2

11．函数f(x)=(x-a)ex在区间(2，3)内没有极值点，则

实数a的取值范围是

A．(-∞，3]∪[4，+∞) B．[3，4]

C．(-∞，3] D．[4，+∞)

12．两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为

A．3(2-
)( B．4(2-
)( C．3(2+
)( D．4(2+
)(

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必修作答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．6个儿童分坐两行，每行3人面对着做游戏，其中甲、乙二人既不对面，又不相邻的坐法有___________种．(用数字作答)

14．△ABC 外接圆的圆心为O，且
，则cos∠BAC=___________．

15．如果双曲线x2-y2=a2经过圆(x-3)2+(y-1)2=5的直径AB的两个端点，则正实数a的值等于___________．

16．关于x的不等式
有唯一整数解x=1，则
的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且
．

(Ⅰ)求角B的大小；

(Ⅱ)若△ABC的面积S=
，a=1，求边AC上的中线BD的长．

18．(本小题满分12分)

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1，AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=
AB．

(Ⅰ)求证：EF∥平面BDC1；

(Ⅱ)求二面角E－BC1－D的余弦值．

19．(本小题满分12分)

已知袋内有标有1～6数字的小球6个，球除标号不同外完全相同，甲、乙两人玩“摸球赢枣”的游戏，由丙做裁判，游戏规定由丙从袋中有放回的摸三次球，记第1、2、3次摸到的球的标号分别为a，b，c，然后将所得的数代入函数f(x)=ax2+bx+c，若所得到的函数无零点，则甲输一个枣给乙，若所得到的函数有零点，则乙输四个枣给甲．

(Ⅰ)记函数的零点的个数为(，求(的分布列和数学期望；

(Ⅱ)根据两人得枣的数学期望，该游戏公平吗？若不公平，谁吃亏？

20．(本小题满分12分)

如图，椭圆C：
(a>b>0)的离心率e=
，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与AB交于点D，若△ADC的面积为15．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)是否存在分别以AD，AC为弦的两个相外切的等圆？

若存在，求出这两个圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由．

21．(本小题满分12分)

已知函数f(x)=alnx+x2(a为实数)．

(Ⅰ)求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值及相应的x值；

(Ⅱ)若存在x([1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

设AB为圆O的直径，AB=10．E为线段AO上一点，OE=
AB．过E作一直线交圆O于C，D两点，使得∠CEA=45°．试求CE2+ED2的值．

23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程．

设直线l的参数方程为
(t为参数)，若以

直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为(=
．

(Ⅰ)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；

(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

24．(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

若实数a，b满足ab>0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．

(Ⅰ)求m的最大值；

(Ⅱ)若2|x-1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．

兰州一中2015届高三第三次模拟考试

理科数学参考答案

一、选择题

1．A 解析：∵A=[-1，2]，B=(0，4)，则A∩B=(0，2]．故选A．

2．D 解析：由图知，z=2+i，∴
，则对应的点位于复平面内的第四象限．故选D．

3．D 解析：依题意可得，2x+2a-
=2x-2a-
+2k((k(Z)，∴a=
(k(Z)，∵a((0，()，∴a=
．故选D．

4．A 解析：∵Sn=na1+
d=
，Sm=ma1+
d=
，解得d=
，a1=
．

∵故Sm+n-4=(m+n)a1+
d-4=
>0(∵m≠n)．故选A．

5．D 解析：四棱锥的底面可由6个侧面和6个对角面构成，每个底面对应4个四棱锥，故所求概率为P=
．故选D．

6．D 解析：计算f′(x)中x2的系数较麻烦，只需计算f(x)中x3的系数．

f(x)=(1+x)(1-x2)5=(1-x2)5+x(1-x2)5，x3的系数为0-
=-5，∴含x3的项为-5x3，

故函数f′(x)中x2的系数是-15．故选D．

7．B 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x+y=1与抛物线y2=2px，得y2+2py-2p=0，

解得y1=-p+
，x1=1+p-
，y2=-p-
，x2=1+p+
，

由OA⊥OB得，x1x2+y1y2=0，即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0，化简得2p=1，

从而A(
，
)，B(
，
)，OA2=x12+y12=5-2
，

OB2=x22+y22=5+2
，△OAB的面积S=
|OQ||OB|=
．故选B．

8．D 解析：由三视图知这个几何体是一个三棱锥P—ABC，其中PA⊥面ABC，AB=1，

PB=a，BC=b，PC=
，∠BAC=90°，设PA=x，AC=y，则
(a2+b2=8，

由
=4知当a=b=2时a+b取最大值，此时x=y=
，故三棱锥P—ABC的体积V=
．故选D．

9．B 解析：由框图的顺序，s=0，n=1，s=(s+n)n=(0+1)×1=1；n=2，依次循环s=(1+2)×2=6，n=3；注意此刻3>3仍然是“否”，所以还要循环一次s=(6+3)×3=27，n=4，此刻输出s=27．故选B．

10．A 解析：点差得，
=0，即
=0，∴
，e2=1+
．故选A．

11．A 解析：f′(x)=(x+1-a)ex，依题意，x+1-a≥0或x+1-a≤0区间(2，3)内恒成立，

∴a≤3或a≥4．故选A．

12．A 解析：∵AO1=
R1，C1O2=
R2，O1O2=R1+R2，∴(
+1)(R1+R2)=
，

R1+R2=
，球O1和O2的表面积之和为4((R12+R22)≥4( ·2(
)2=

2((R1+R2)2=3(2-
)(．故选A．

二、填空题

13．384 解析：由于甲、乙是特殊元素，可先安排甲、乙，分两种情况：

(1)甲坐两端，可从四个位中选一个坐下，有
种，由于乙不与甲坐对面和相邻，在其他3个位中选一个坐下有
种，其余4人有
种，此类有
种方法．

(2)甲在中间两个位上找一个位子坐下，有
种，乙应在其他两个位上找一个位子坐下有
种，其余4人有
种坐法．此类坐法有
种．

所以满足条件的坐法共有
=384(种)．故填384．

14．
解析：设BC边中点为M，则
，由题设
，

∴A、O、M共线，且AO=4OM，而∠BOM=2∠BAM，∴∠BOM=∠BAC，

即cos∠BAC=
．故填
．

15．1+
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程作差得(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2)，

∵x1+x2=6，y1+y2=2，
=3，∴AB的方程为y=3x-8，与圆方程联立得10(x-3)2=5，

∴(x-3) 2=
，∴a2=(x+y)(x-y)=(4x-8)(8-2x)=8-8(x-3)2=4．a=2．故填2．

16．(
，1) 解析：∵
(x2+ax+2b<0，依题意方程x2+ax+2b=0只有唯一的整数解x=1，∴方程x2+ax+2b=0一根在[0，1)内，另一根在(1，2]内，即函数f(x)=x2+ax+2b的图象与x轴在[0，1)和(1，2]内各有一个交点．

∴
，作出可行域，如图所示：

∵
为可行域内的点(a，b)与定点P(1，2)的连线的斜率，

由图可知，kPA<

∴kPA=
，kPB=1，故
的取值范围是(
，1)．

三、解答题

17．(Ⅰ)解：由
(2sinAcosB+sin(B+C)=0， ……………………2分

即2sinAcosB+sinA=0，…………………………………………………………………4分

而sinA≠0，∴cosB=-
，B=
．……………………………………………………6分

(Ⅱ)解：因S=
acsinB，又S=
，a=1，sinB=
，则c=4．……………………8分

解法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得b=
，………………………………10分

由cosC=
，得
，

解得BD=
．………………………………………………………………………12分

解法二：作AE平行于BC，并延长BD交AE于E，

在△ABE中，∠BAE=
，AB=4，AE=1，且BD=
BE，

又BE2=AB2+AE2-2AB·AEcosA，

即BE2=16+1-2×4×1×
=13，这样BD=
BE=
．………………………………12分

18．(Ⅰ)证明(证法一)：设O为AB的中点，连结A1O，

∵AF=
AB，O为AB的中点，∴F为AO的中点，

又E为AA1的中点，∴EF∥A1O．

又∵D为A1B1的中点，O为AB的中点，∴A1D=OB．

又A1D∥OB，∴四边形A1DBO为平行四边形．

∴A1O∥BD．又EF∥A1O，∴EF∥BD．

又EF(平面DBC1，BD(平面DBC1．

∴EF∥平面DBC1．…………………6分

(证法二)建立如图所示的坐标系．(坐标系建立仅为参考)

∵AB=BC=CA=AA1=2，D、E分别为A1B1、AA1的中点，

AF=
AB．

E(-1，0，1)，F(-
，0，0)，B(1，0，0)，D(0，0，2)，

C1(0，
，2)．

设平面DBC1的法向量为n=(x，y，z)．

=(
，0，-1)，
=(-1，0，2)，
=(-1，
，2)．

·n=-x+2z=0，
·n=-x+
y+2z=0，

令z=1，则y=0，x=2，∴n=(2，0，1)．

·n=
×2+0×0+(-1)×1=0，∴
⊥n．

又EF(平面BDC1，∴EF∥平面BDC1．……………6分

(Ⅱ)解：设平面EBC1的法向量为m=(x，y，z)．

=(-2，0，1)，
=(-1，
，2)．

·m=-2x+z=0，
·n=-x+
y+2z=0，

令x=1，则z=2，y=-
，∴m=(1，-
，2)．

cos< m，n >=
．

∴二面角E－BC1－D的余弦值为
．……………………………………………12分

19．(Ⅰ)解：(的可能取值为0，1，2．f(x)=ax2+bx+c的判别式(=b2-4ac，

当(=0时，b为偶数，b=2时，a=1，c=1；b=4时，a=1，c=4或a=2，c=2或a=4，c=1；

b=6时，a=3，c=3，∴P((=1)=
．…………………………………………………4分

当(≥0时，有b≥3，b=3时，ac≤2，有3种；b=4时，ac≤4，有9种；b=5时，ac≤6，

有14种；b=6时，ac≤9，有17种，共计43种．∴(=1的情形有43-5=38种，∴P((=2)=
．

P((=0)=1- P((=1)-P((=2)=
．…………………………………………………………6分

∴(的分布列为：

(

0

1

2



P









数学期望E(=