兰州一中2015届高三第三次模拟考试

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

注意事项：

1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座位号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置．

2．答题时，考生需用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={x|-1

A．[-1，0] B．(-1，3] C．[0，1) D．{-1，3}

2．已知
，那么复数z对应的点位于复平面内的( )．

A．第一象限　　　 B．第二象限　　 C．第三象限　　 D．第四象限

3．函数f(x)=sin(-2x)的一个递增区间是(　　)．

A．
B．
C．
D．

4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a1-a4=0，则
=( )．

A．-8 B．8 C．5 D．15

5．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是( )．

A．①④ B．②③ C．②④ D．①②

6．直线ax+by-a=0与圆x2+y2+2x-4=0的位置关系是(　　)．

A．相离 B．相切

C．相交 D．与a，b的取值有关

7．已知△ABC是非等腰三角形，设P(cosA，sinA)，Q(cosB，sinB)，R(cosC，sinC)，则△PQR的形状是( )．

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定

8．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，则这个几何体的体积是( )．

A．8cm3 B．12cm3

C．24cm3 D．72cm3

9．下图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是(　　)．

A．n>2 B．n>3

C．n>4 D．n>5

10．P是双曲线
-y2=1右支(在第一象限内)上的任意一点，A1，A2分别是左右顶点，O是坐标原点，直线PA1，PO，PA2的斜率分别为k1，k2，k3，则斜率之积k1k2k3的取值范围是( )．

A．(0，1) B．(0，
)

C．(0，
) D．(0，
)

11．已知函数f(x)=|2x-1|，f(a)>f(b)>f(c)，则以下情

况不可能发生的是( )．

A．a

C．b

12．点P在直径为5的球面上，过P作两两互相垂直的三条弦(两端点均在球面上的线段)，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是(　　)．

A．2
B．2
C．
D．

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必修作答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若平面区域
是一个三角形，则k的取值范围是___________．

14．一个立方体骰子的六个面分别标有数字1，2，2，3，3，4；另一个立方体骰子的六个面分别标有数字1，3，4，5，6，8．掷两粒骰子，则其最上面所标的两数之和为7的概率是___________．

15．设a=(4，3)，a在b上的投影为
，b在x轴上的投影为1，则b=___________．

16．已知等差数列{an}的前n项和为Sn=(a+1)n2+a，某三角形三边之比为a2：a3：a4，则该三角形的面积___________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)

数列{an}中，a1=2，an+1=an+kn(k是不为零的常数，n(N*)，且a1，a2，a3成等比数列．

(Ⅰ)求k的值和{an}的通项公式；

(Ⅱ)求数列{
}的前n项和Tn．

18．(本小题满分12分)

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=
AB．

(Ⅰ)求证：EF∥平面BDC1；

(Ⅱ)求三棱锥D－BEC1的体积．

19．(本小题满分12分)

为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室 随机选取20名女生作为样本测量她们的体重(单位：kg)，获得的所有数据按照区间(40，45]，(45，50]，(50，55]，(55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中体重在区间(45，50]上的女生数与体重在区间(55，60]上的女生数之比为4:3．

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)从样本中体重在区间(50，60]上的女生中随机抽取两人，求体重在区间(55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．

20．(本小题满分12分)

已知⊙C过点P(1，1)，且与⊙M：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称．

(Ⅰ)求⊙C的方程；

(Ⅱ)过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

21．(本小题满分12分)

已知函数f(x)=2x-
+blnx，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处切线方程为3x+y-8=0．

(Ⅰ)求a，b的值，并求函数f(x)的单调递增区间；

(Ⅱ)设g(x)=f(x)-
，试问过点(2，2)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由．

请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．

(Ⅰ)求证：
；

(Ⅱ)若AC=2，求AP·AD的值．

23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xoy中，动点A的坐标为(2-3sin(，3cos(-2)，其中((R．以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为(cos(( -
)=a．

(Ⅰ)判断动点A的轨迹表示什么曲线；

(Ⅱ)若直线l与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．

24．(本小题满分10分)选修4-5；不等式选讲

若实数a，b满足ab>0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．

(Ⅰ)求m的最大值；

(Ⅱ)若2|x-1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．

兰州一中2015届高三第三次模拟试题

文科数学参考答案

一、选择题

1．C 解析：∵A=(-1，1)，B=[0，3]，则A∩B=[0，1)．故选C．

2．A 解析：
．故选A．

3．D 解析：f(x)=-sin(2x)，由2k(+
≤2x≤2k(+
得k(+
≤x≤k(+
，取k=-1．故选D．

4．C 解析：8a1-a4=0(q3=8(q=2，
=1+q2=5．故选C．

5．A 解析：△PAC在上下底面上的射影为①，在其它四个面上的射影为④．故选A．

6．C 解析：直线即a(x-1)+by=0，过定点P(1，0)，而点P在圆(x+1)2+y2=5内，故相交．

故选C．

7．B 解析：易知这三个点都在单位圆上，而且都在第一，二象限，由平几知识可知，这样的三个点构成的必然是钝角三角形．故选B．

8．B 解析：三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥，底面是底边长为6高为4的等腰三角形，三棱锥的高为3，∴这个几何体的体积V=
×6×4×3=12．故选B．

9．B 解析：由框图的顺序，s=0，n=1，s=(s+n)n=(0+1)×1=1；n=2，依次循环s=(1+2)×2=6，n=3；注意此刻3>3仍然是“否”，所以还要循环一次s=(6+3)×3=27，n=4，此刻输出s=27．故选B．

10．B 解析：k1k2k3=
．故选B．

11．D 解析：当x≤0时，f(x)递减；当x≥0时，f(x)递增，∴b

12．C 解析：设三条弦长分别是a，2a，h，则a2+(2a)2+h2=25，即5a2+h2=25，三条弦长之和S=3a+h，将h=S-3a代入5a2+h2=25，得14a2-6aS+S2-25=0，由(≥0得S2≤70．故选C．

二、填空题

13．(-∞，-2)∪(0，
]． 解析：直线y+2=k(x+1)过定点(-1，-2)，作图得k的取值范围是

(-∞，-2)∪(0，
]．

14．
解析：在36对可能的结果中，和为7的有6对：(1，6)，(2，5)，(2，5)，(3，4)，(3，4)，(4，3)．∴得到两数之和为7的概率是
．

15．(1，-1) 解析：由题意可知b的终点在直线x=1上，可设b=(1，y)，则
，
，17y2+48y+31=0，∴y=-1或y=-
(增解，舍去)，∴b=(1，-1)．

16．
解析：∵{an}是等差数列，∴a=0，Sn=n2，∴a2=3，a3=5，a4=7．

设三角形最大角为(，由余弦定理，得cos(=-
，∴(=120°．∴该三角形的面积

S=
×3×5×sin120°=
．

三、解答题

17．(Ⅰ)解：a1=2，a2=2+k，a3=2+3k，由a22=a1a3得，(2+k)=2(2+3k)，

∵k≠0，∴k=2．······················································································2分

由an+1=an+2n，得an-an-1=2(n-1)，

∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+···+(an-an-1)=2+2[1+2+···+(n-1)]=n2-n+2．·························6分

(Ⅱ)解：
．·······························································8分

∴Tn=
，

，························································10分

两式相减得，
，

∴Tn=1-
．·······················································································12分

18．(Ⅰ)证明：设O为AB的中点，连结A1O，

∵AF=
AB，O为AB的中点，∴F为AO的中点，

又E为AA1的中点，∴EF∥A1O．

又∵D为A1B1的中点，O为AB的中点，∴A1D=OB．

又A1D∥OB，∴四边形A1DBO为平行四边形．

∴A1O∥BD．又EF∥A1O，∴EF∥BD．

又EF(平面DBC1，BD(平面DBC1．

∴EF∥平面DBC1．…………………6分

(Ⅱ)解：∵AB=BC=CA=AA1=2，

D、E分别为A1B1、AA1的中点，AF=
AB，

∴C1D⊥面ABB1A1．

而
，

=
．

∵C1D=
．

∴
．………………………………12分

19．(Ⅰ)解：样本中体重在区间(45，50]上的女生有a×5×20=100a(人)，·····················1分

样本中体重在区间(50，60]上的女生有(b+0.02)×5×20=100(b+0.02)(人)，··············2分

依题意，有100a=
×100(b+0.02)，即a=
×(b+0.02)．①·································3分

根据频率分布直方图可知(0.02+b+0.06+a)×5=1，②··········································4分

解①②得：a=0.08，b=0.04．······································································6分

(Ⅱ)解：样本中体重在区间(50，55]上的女生有0.04×5×20=4人，分别记为

A1，A2，A3，A4，··················································································7分

体重在区间(55，60]上的女生有0.02×5×20=2人，分别记为B1，B2．··················8分

从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况：

(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，

(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)．·······10分

其中体重在(55，60]上的女生至少有一人共有9种情况：

(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，

(B1，B2)．····························································································11分

记“从样本中体重在区间(50，60]上的女生随机抽取两人，体重在区间(55，60]上的女生

至少有一人被抽中”为事件M，则P(M)=
．··········································12分

20．(Ⅰ)解：设圆心C(a，b)，则
，解得
．·······················3分

则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，

故圆C的方程为x2+y2=2．·····································································5分

(Ⅱ)解：由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，

故可设PA：y-1=k(x-1)，PB：y-1=-k(x-1)，且k≠0，······································6分

由
，得(1+k2)x2-2k(k-1)x+k2-2k-1=0，······································7分

∵点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得xA=
．····················8分

同理，xB=
．···········································································9分

∴
=1=kOP．······················11分

∴直线AB和OP一定平行．·····································································12分

21．(Ⅰ)解：f(x)的定义域是(0，+∞)，f′(x)=2+
+
．

依题设，f(1)=5，f′(1)=-3，∴a=-3，b=-2．···················································4分

∴f′(x)=2-
，令f′(x)>0，又x>0，∴x>
．

∴函数的单调增区间为(
，+∞)．······················································6分

(Ⅱ)g(x)=f(x)-
=2x-2lnx，g′(x)=2-
．

设过点(2，2)与曲线g(x)的切线的切点坐标为(x0，y0)，

则y0-2=g′(x0)(x0-2)，即2x0-2lnx0-2=(2-
)(x0-2)，∴lnx0+
2．·····················8分

令h(x)=lnx+
-2，则h′(x)=
，∴x=2．

∴h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增．······································10分

∵h(
)=2-ln2>0，h(2)=ln2-1<0，h(e2)=
>0．

∴h(x)与x轴有两个交点，∴过点(2，2)可作2条曲线y=g(x)的切线．···············12分

22．(Ⅰ)证明：∵∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，

∴△DPC～△DBA．

∴
．

又∵AB=AC，∴
．·····································································5分

(Ⅱ)解：∵∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAD，∴△APC～△ACD．

∴
，∴AC2=AP·AD=4．·······························································10分

23．(Ⅰ)解：设动点A的直角坐标为(x，y)，则

∴动点A的轨迹方程为(x-2)2+(y+2)2=9，

其轨迹是以(2，-2)为圆心，半径为3的圆．·····················································5分

(Ⅱ)解：直线l的极坐标方程(cos((-
)=a化为直角坐标方程是x+y=
a．

由
=3，得a=3，或a=-3．··························································10分

24．(Ⅰ)解：由题设可得b=
>0，∴a>0．∴a+b=a+
=
≥3，

当a=2，b=1时，a+b取得最小值3，∴m的最大值为3．·································5分

(Ⅱ)解：要使2|x-1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，须且只须2|x-1|+|x|≤3．

用零点区分法求得实数x的取值范围是-